Введение
Тип двухмерной квазичастицы
В физике анион — это тип квазичастицы, наблюдавшийся пока только в двухмерных системах. В трехмерных системах наблюдаются только два типа элементарных частиц: фермионы и бозоны. Анионы обладают статистическими свойствами, промежуточными между статистикой фермионов и бозонов, и играют важную роль в фракционном квантовом эффекте Холла.
Введение
Статистическая механика больших систем многих тел подчиняется законам, описанным статистикой Максвелла — Больцмана. Квантовая статистика сложнее из-за различного поведения двух типов частиц, называемых фермионами и бозонами. Однако в двухмерных системах существует третий тип частиц, называемый анионами. В трехмерном мире, в котором мы живем, существуют только два типа частиц: «фермионы», которые отталкиваются друг от друга, и «бозоны», которые стремятся объединяться. Хорошо известный фермион — электрон, переносящий электричество, а хорошо известный бозон — фотон, переносящий свет. Однако в двухмерном мире существует другой тип частицы, анион, который не ведет себя как фермион или бозон. В двухмерном мире два идентичных аниона изменяют свою волновую функцию при перестановке, что невозможно в трехмерной физике: в двух измерениях двойной обмен идентичными частицами не эквивалентен их неподвижному состоянию. Волновая функция частиц после двойного обмена может отличаться от исходной; частицы с такой необычной статистикой обмена известны как анионы. В отличие от этого, в трех измерениях двойной обмен частицами не может изменить их волновую функцию, оставляя только две возможности: бозоны, чья волновая функция остается неизменной даже после однократного обмена, и фермионы, чей обмен изменяет только знак их волновой функции.
In a two dimensional world, two identical anyons change their wavefunction when they swap places in ways that cannot happen in three dimensional physics:
in two dimensions, exchanging identical particles twice is not equivalent to leaving them alone. The particles' wavefunction after swapping places twice may differ from the original one; particles with such unusual exchange statistics are known as anyons. By contrast, in three dimensions, exchanging particles twice cannot change their wavefunction, leaving us with only two possibilities: bosons, whose wavefunction remains the same even after a single exchange, and fermions, whose exchange only changes the sign of their wavefunction. |author=Kirill Shtengel |title="A home for anyon?" |source=Nature Physics
This process of exchanging identical particles, or of circling one particle around another, is referred to as "braiding". Braiding two anyons creates a historical record of the event, as their changed wave functions record the number of braids. Microsoft has invested in research concerning anyons as a potential basis for topological quantum computing. They may be useful in quantum computing as a form of memory. Most investment in quantum computing, however, is based on methods that do not use anyons.|author= Biedenharn et al. In 1977, two theoretical physicists working at the University of Oslo, Jon Magne Leinaas and Jan Myrheim, showed that the traditional classification of particles as either fermions or bosons would not apply if they were restricted to move in only two dimensions. Hypothetical particles, being neither bosons nor fermions, would be expected to exhibit a diverse range of previously unexpected properties. In 1982, Frank Wilczek published two papers exploring the fractional statistics of quasiparticles in two dimensions, giving them the name "anyons" to indicate that the phase shift upon permutation can take any value. Daniel Tsui and Horst Störmer discovered the fractional quantum Hall effect in 1982. The mathematics developed by Wilczek proved to be useful to Bertrand Halperin at Harvard University in explaining aspects of it. Frank Wilczek, Dan Arovas, and Robert Schrieffer verified this statement in 1985 with an explicit calculation that predicted that particles existing in these systems are in fact anyons.
Этот процесс обмена идентичными частицами или обхода одной частицы вокруг другой называется «заплетением» (braiding). Заплетение двух анионов создает историческую запись события, поскольку их измененные волновые функции фиксируют количество заплетений. Microsoft инвестирует в исследования анионов как в потенциальную основу для топологических квантовых вычислений. Они могут быть полезны в квантовых вычислениях в качестве формы памяти. Однако большинство инвестиций в квантовые вычисления основаны на методах, не использующих анионы. В 1977 году два теоретических физика из Университета Осло, Йон Магне Ленаас и Ян Мирхейм, показали, что традиционная классификация частиц как фермионов или бозонов неприменима, если они ограничены движением только в двух измерениях. Гипотетические частицы, не являющиеся ни бозонами, ни фермионами, должны проявлять широкий спектр ранее непредсказуемых свойств. В 1982 году Фрэнк Вильчек опубликовал две статьи, посвященные исследованию дробной статистики квазичастиц в двух измерениях, дав им название «анионы», чтобы указать, что фазовый сдвиг при перестановке может принимать любое значение. Даниэль Цуй и Хорст Штёрмер открыли дробный квантовый эффект Холла в 1982 году. Математика, разработанная Вильчеком, оказалась полезной Бертрану Халперину из Гарвардского университета для объяснения некоторых его аспектов. Фрэнк Вильчек, Дэн Аровас и Роберт Шриффер подтвердили это утверждение в 1985 году с помощью точного расчета, который предсказал, что частицы, существующие в этих системах, на самом деле являются анионами.
In a two dimensional world, two identical anyons change their wavefunction when they swap places in ways that cannot happen in three dimensional physics:
in two dimensions, exchanging identical particles twice is not equivalent to leaving them alone. The particles' wavefunction after swapping places twice may differ from the original one; particles with such unusual exchange statistics are known as anyons. By contrast, in three dimensions, exchanging particles twice cannot change their wavefunction, leaving us with only two possibilities: bosons, whose wavefunction remains the same even after a single exchange, and fermions, whose exchange only changes the sign of their wavefunction. |author=Kirill Shtengel |title="A home for anyon?" |source=Nature Physics
This process of exchanging identical particles, or of circling one particle around another, is referred to as "braiding". Braiding two anyons creates a historical record of the event, as their changed wave functions record the number of braids. Microsoft has invested in research concerning anyons as a potential basis for topological quantum computing. They may be useful in quantum computing as a form of memory. Most investment in quantum computing, however, is based on methods that do not use anyons.|author= Biedenharn et al. In 1977, two theoretical physicists working at the University of Oslo, Jon Magne Leinaas and Jan Myrheim, showed that the traditional classification of particles as either fermions or bosons would not apply if they were restricted to move in only two dimensions. Hypothetical particles, being neither bosons nor fermions, would be expected to exhibit a diverse range of previously unexpected properties. In 1982, Frank Wilczek published two papers exploring the fractional statistics of quasiparticles in two dimensions, giving them the name "anyons" to indicate that the phase shift upon permutation can take any value. Daniel Tsui and Horst Störmer discovered the fractional quantum Hall effect in 1982. The mathematics developed by Wilczek proved to be useful to Bertrand Halperin at Harvard University in explaining aspects of it. Frank Wilczek, Dan Arovas, and Robert Schrieffer verified this statement in 1985 with an explicit calculation that predicted that particles existing in these systems are in fact anyons.
Топологическая эквивалентность
Тот факт, что классы гомотопии путей (т.е. понятие эквивалентности для кос) является важной подсказкой, намекает на более глубокое понимание. Это понимание возникает из интеграла по траекториям Фейнмана, в котором все траектории от начальной до конечной точки в пространстве-времени вносят вклад с соответствующим фазовым множителем. Интеграл по траекториям Фейнмана можно обосновать, раскладывая пропагатор методом, называемым дискретизацией по времени, при котором время разбивается на дискретные интервалы. Для негомотопных траекторий невозможно перейти из любой точки на одном временном слое в любую другую точку на следующем слое. Это означает, что мы можем рассматривать гомотопически эквивалентные классы траекторий как имеющие различные весовые коэффициенты. Таким образом, можно увидеть, что топологическое понятие эквивалентности берет начало из изучения интеграла по траекториям Фейнмана. В 2020 году две группы ученых (одна в Париже, другая в Пердью) объявили о новых экспериментальных доказательствах существования анионов. Оба эксперимента были представлены в ежегодном выпуске журнала Discover Magazine "Состояние науки" за 2020 год. В июле 2020 года ученые из Университета Пердью обнаружили анионы, используя другую установку. Интерферометр, разработанный командой, направляет электроны через специфическую лабиринтную наноструктуру, изготовленную из арсенида галлия и арсенида галлия-алюминия. "В случае наших анионов фаза, генерируемая переплетением, составляла 2π/3", – заявил он. "Это отличается от всего, что мы наблюдали в природе ранее". По состоянию на 2023 год эта область остается активной темой исследований; используя сверхпроводящий процессор, Google Quantum AI сообщила о первом переплетении частиц, подобных неабелевым анионам, в статье на arXiv, опубликованной Андерсеном и др. в октябре 2022 года, которая впоследствии была опубликована в журнале Nature. В статье на arXiv, опубликованной в мае 2023 года, Quantinuum сообщила о неабелевом переплетении с использованием процессора на основе захваченных ионов.
Неабелские анионы
В 1988 году Юрг Фрелих показал, что обмен частиц является моноидальным (неабелева статистика) и это согласуется с теоремой спин-статистики. В частности, этого можно достичь, когда система проявляет некоторую вырожденность, так что несколько различных состояний системы имеют одну и ту же конфигурацию частиц. Тогда обмен частиц может приводить не только к изменению фазы, но и переводить систему в другое состояние с той же конфигурацией частиц. Таким образом, обмен частицами соответствует линейному преобразованию в этом подпространстве вырожденных состояний. При отсутствии вырожденности это подпространство одномерно, и все такие линейные преобразования коммутируют (поскольку они представляют собой просто умножение на фазовый множитель). При наличии вырожденности и большей размерности этого подпространства, эти линейные преобразования не обязаны коммутировать (как и умножение матриц). Грегори Мур, Николас Рид и Сяо Ган Вэнь указали на возможность реализации неабелевой статистики во фракционном квантовом эффекте Холла (FQHE). Изначально неабелевы анионы рассматривались как чисто математическое любопытство, однако физики начали активно искать способы их обнаружения после того, как Алексей Китаев показал, что неабелевы анионы можно использовать для создания топологического квантового компьютера. По состоянию на 2012 год ни один эксперимент не продемонстрировал существование неабелевых анионов, хотя в изучении состояния ν = 5/2 FQHE появляются обнадеживающие признаки. Экспериментальные свидетельства существования неабелевых анионов, хотя и не окончательные и в настоящее время подвергаются сомнению, были представлены в октябре 2013 года. В недавних работах заявлено о создании неабелева топологического порядка и анионов на ионной ловушке.
Топологическая основа
В более чем двух измерениях теорема спин-статистики утверждает, что любое многочастичное состояние неразличимых частиц должно подчиняться статистике Бозе — Эйнштейна или Ферми — Дирака. Для любого d > 2 группы Ли SO(d,1) (обобщающие группу Лоренца) и группы Пуанкаре(d,1) имеют Z₂ в качестве своей первой гомотопической группы. Поскольку циклическая группа Z₂ состоит из двух элементов, остаются только две возможности. (Детали более сложны, но это ключевой момент.) Ситуация меняется в двух измерениях. Здесь первая гомотопическая группа SO(2,1), а также группы Пуанкаре(2,1), является Z (бесконечная циклическая). Это означает, что Spin(2,1) не является универсальным накрытием: она не просто связна. В частности, существуют проективные представления специальной ортогональной группы SO(2,1), которые не возникают из линейных представлений SO(2,1) или её двойного покрытия, спиновой группы Spin(2,1). Анионы — это чётко комплементарные представления спиновой поляризации заряженной частицы. Эта концепция также применима к нерелятивистским системам. Важно отметить, что группа пространственных вращений SO(2) имеет бесконечную первую гомотопическую группу. Этот факт также связан с группами кос, хорошо известными в теории узлов. Связь становится понятной, если учесть, что в двух измерениях группа перестановок двух частиц больше не является симметрической группой S₂ (с двумя элементами), а скорее группой кос B₂ (с бесконечным числом элементов). Суть в том, что одна коса может оборачиваться вокруг другой, операцию, которую можно выполнять бесконечно часто как по часовой стрелке, так и против. Совершенно иной подход к проблеме стабильной декогерентности в квантовых вычислениях — создание топологического квантового компьютера с использованием анионов, квазичастиц, используемых в качестве нитей и опирающихся на теорию кос для формирования стабильных квантовых логических элементов.
Обобщение в более высоких измерениях
Фракционализированные возбуждения в виде точечных частиц могут быть бозонами, фермионами или анионами в 2+1 пространственно-временных измерениях. Известно, что точечные частицы могут быть только бозонами или фермионами в 3+1 и более высоких пространственно-временных измерениях. Однако петлевые (или струнные) и мембранные возбуждения являются протяженными объектами, которые могут обладать фракциональной статистикой. Современные исследования показывают, что петлевые и струнные возбуждения существуют для топологических фаз в 3+1-мерном пространстве-времени, и их многопетлевая/многострунная статистика переплетения является ключевым признаком для идентификации 3+1-мерных топологических фаз. Многопетлевая/многострунная статистика переплетения 3+1-мерных топологических фаз может быть описана инвариантами узлов определенных топологических квантовых теорий поля в 4 пространственно-временных измерениях. Если говорить простым языком, протяженные объекты (петли, струны или мембраны и т.п.) могут быть потенциально анионными в 3+1 и более высоких пространственно-временных измерениях в системах с дальним квантовым запутыванием.