Введение

Тип кардинального числа в математике.
В теории множеств регулярный кардинал — это кардинальное число, равное своей собственной кофинальности. Более точно, это означает, что κ является регулярным кардиналом тогда и только тогда, когда каждое неограниченное подмножество имеет кардинальность κ. Бесконечные хорошо упорядоченные кардиналы, которые не являются регулярными, называются сингулярными кардиналами. Конечные кардинальные числа обычно не называют регулярными или сингулярными. При наличии аксиомы выбора любое кардинальное число может быть хорошо упорядочено, и тогда для кардинала κ справедливы следующие эквивалентности: κ является регулярным кардиналом. Если |A| < κ для всех A ∈ X, то |X| < κ. Если |X| < κ и |Y| < κ для всех X, Y ∈ F, то |F| < κ. Категория множеств кардинальности меньше κ и всех функций между ними замкнута относительно колимитов кардинальности меньше κ. κ является регулярным ординалом (см. ниже).
Грубо говоря, это означает, что регулярный кардинал нельзя разложить на небольшое количество меньших частей. Ситуация немного сложнее в контекстах, где аксиома выбора может быть неверна, поскольку в этом случае не все кардиналы обязательно являются кардинальностями хорошо упорядоченных множеств. В этом случае вышеуказанная эквивалентность справедлива только для хорошо упорядочиваемых кардиналов. Бесконечный ординал α является регулярным ординалом, если он является предельным ординалом, который не является пределом множества меньших ординалов, порядок которых как множества меньше α. Регулярный ординал всегда является начальным ординалом, хотя некоторые начальные ординалы не являются регулярными, например, ω (см. пример ниже).

Примеры

Порядковые числа, меньшие чем , конечны. Конечная последовательность конечных порядковых чисел всегда имеет конечный максимум, поэтому не может быть пределом последовательности типа меньше, чем , элементы которой являются порядковыми числами, меньшими чем , и, следовательно, является регулярным порядковым числом. (Алеф-нуль) является регулярным кардиналом, поскольку его начальный ординал, , является регулярным. Это также можно увидеть непосредственно, так как кардинальная сумма конечного числа конечных кардиналов сама по себе конечна. является следующим порядковым числом, большим чем . Оно сингулярно, поскольку не является предельным ординалом. является следующим предельным ординалом после него. Его можно представить как предел последовательности , , , и так далее. Эта последовательность имеет порядок типа , поэтому является пределом последовательности типа меньше, чем , элементы которой являются порядковыми числами, меньшими чем ; следовательно, оно сингулярно. является следующим кардинальным числом, большим чем , поэтому кардиналы, меньшие чем , счетны (конечны или счетно бесконечны). Предполагая аксиому выбора, объединение счетного множества счетных множеств само счетно. Следовательно, не может быть представлено как сумма счетного множества счетных кардиналов, и является регулярным. является следующим кардинальным числом после последовательности , , , и так далее. Его начальный ординал является пределом последовательности , , , и так далее, которая имеет порядок типа , поэтому оно сингулярно, и то же самое относится к . Предполагая аксиому выбора, является первым бесконечным кардиналом, который является сингулярным (первым бесконечным ординалом, который является сингулярным, является , а первым бесконечным предельным ординалом, который является сингулярным, является ). Доказательство существования сингулярных кардиналов требует аксиомы замены, и именно неспособность доказать существование в теории множеств Цермело привела Френкеля к постулированию этой аксиомы. Несчетные (слабые) предельные кардиналы, которые также регулярны, известны как (слабо) недоступные кардиналы. Их существование нельзя доказать в ZFC, хотя их существование не известно как противоречащее ZFC. Их существование иногда принимается в качестве дополнительной аксиомы. Недоступные кардиналы обязательно являются фиксированными точками функции алеф, хотя не все фиксированные точки регулярны. Например, первая фиксированная точка является пределом последовательности и, следовательно, сингулярна.

Свойства

Если аксиома выбора верна, то каждый следующий кардинал является регулярным. Таким образом, регулярность или сингулярность большинства чисел алеф можно проверить в зависимости от того, является ли кардинал следующим кардиналом или лимитным кардиналом. Некоторые кардинальности нельзя доказать равными какому-либо конкретному алефу, например, кардинальность континуума, значение которой в ZFC может быть любым несчётным кардиналом с несчётной кофинальностью (см. теорему Истона). Гипотеза континуума постулирует, что кардинальность континуума равна , что является регулярным при допущении аксиомы выбора. Без аксиомы выбора существовали бы кардинальные числа, которые нельзя было бы хорошо упорядочить. Более того, кардинальная сумма произвольного множества не могла бы быть определена. Следовательно, только числа алеф можно осмысленно называть регулярными или сингулярными кардиналами. Кроме того, следующий алеф не обязательно должен быть регулярным. Например, объединение счётного множества счётных множеств не обязательно должно быть счётным. Согласуется с ZF, что может быть пределом счётной последовательности счётных ординалов, а также множество вещественных чисел может быть счётным объединением счётных множеств. Кроме того, согласуется с ZF, что каждый алеф, больший чем , является сингулярным (результат, доказанный Моти Гитиком). Если является предельным ординалом, то регулярно тогда и только тогда, когда множество , являющихся критическими точками элементарных вложений с , является клубом в . Для кардиналов , скажем, что элементарное вложение является малым вложением, если транзитивно, а кардинал несчётен и регулярен тогда и только тогда, когда существует такое, что для каждого , существует малое вложение. Следствие 2.2.