Введение

В математике проективная прямая — это, грубо говоря, расширение обычной прямой точкой, называемой точкой на бесконечности. Формулировка и доказательство многих теорем геометрии упрощаются благодаря устранению особых случаев; например, две различные проективные прямые в проективной плоскости пересекаются ровно в одной точке (случая "параллельности" не существует). Существует множество эквивалентных способов формально определить проективную прямую; один из наиболее распространенных — определить проективную прямую над полем K, обычно обозначаемую P¹(K), как множество одномерных подпространств двумерного векторного пространства над K. Это определение является частным случаем общего определения проективного пространства. Проективная прямая над действительными числами является многообразием; подробности см. в статье «Действительная проективная прямая».

Реальная проективная линия

Проективная прямая над действительными числами называется действительной проективной прямой. Её также можно представить как прямую K вместе с идеализированной точкой на бесконечности ∞; эта точка соединяет оба конца K, образуя замкнутый цикл или топологический круг. Пример можно получить, проецируя точки в R2 на единичную окружность и затем отождествляя диаметрально противоположные точки. С точки зрения теории групп можно рассмотреть факторгруппу по подгруппе. Сравните с расширенной прямой действительных чисел, которая различает ∞ и −∞.

Сложная проективная линия: сфера Римана

Добавление точки в бесконечности к комплексной плоскости приводит к пространству, топологически являющемуся сферой. Следовательно, комплексная проективная прямая также известна как сфера Римана (или иногда сфера Гаусса). Она постоянно используется в комплексном анализе, алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий как простейший пример компактной римановой поверхности.

Группа симметрии

В целом, группа гомографий с коэффициентами в K действует на проективную линию P1(K). Это групповое действие транзитивно, поэтому P1(K) является однородным пространством для этой группы, часто записываемым как PGL2(K) для подчеркивания проективного характера этих преобразований. Транзитивность означает, что существует гомография, которая отображает любую точку Q в любую другую точку R. Таким образом, точка на бесконечности на P1(K) является артефактом выбора координат: однородные координаты выражают одномерное подпространство одной ненулевой точкой (X, Y), лежащей в нем, но симметрии проективной линии могут переместить эту точку в любую другую, и она никак не выделяется. Более того, существует преобразование, которое отображает любые три различные точки Qi, где i = 1, 2, 3, в любые другие три различные точки Ri (тройная транзитивность). Эта степень однозначного задания "использует" три измерения PGL2(K); другими словами, групповое действие является строго 3-транзитивным. Вычислительным аспектом этого является двойное отношение. Более того, верна обобщенная обратная теорема: строго 3-транзитивное групповое действие всегда (изоморфно) является обобщенной формой действия PGL2(K) на проективной линии, где "поле" заменено на "KT-поле" (обобщение обратного на более слабое инволюционное преобразование), а "PGL" – соответствующим обобщением проективных линейных преобразований.

В виде алгебраической кривой

Проективная линия является фундаментальным примером алгебраической кривой. С точки зрения алгебраической геометрии, P1(K) является несингулярной кривой рода 0. Если K алгебраически замкнуто, то это единственная такая кривая над K с точностью до рациональной эквивалентности. В общем случае (несингулярная) кривая рода 0 рационально эквивалентна над K коническому C, который сам по себе бирационально эквивалентен проективной прямой, если и только если C имеет точку, определенную в K; геометрически такую точку P можно использовать в качестве начала координат, чтобы сделать явным бирациональную эквивалентность. Поле функций проективной прямой является полем K(T) рациональных функций над K от одной переменной T. Автоморфизмы поля K(T) над K — это, в точности, группа PGL2(K), обсуждавшаяся выше. Любое поле функций K(V) алгебраического многообразия V над K, за исключением одной точки, имеет подполе, изоморфное K(T). С точки зрения бирациональной геометрии, это означает, что существует рациональное отображение из V в P1(K), которое не является постоянным. Образ будет исключать лишь конечное число точек P1(K), а прообраз типичной точки P будет иметь размерность dim V − 1. Это начало методов в алгебраической геометрии, индуктивных по размерности. Рациональные отображения играют роль, аналогичную мероморфным функциям комплексного анализа, и, действительно, в случае компактных римановых поверхностей эти два понятия совпадают. Если V теперь рассматривать как одномерное, то получается представление типичной алгебраической кривой C, «над» P1(K). Предполагая, что C несингулярна (что не является ограничением общности, начиная с K(C)), можно показать, что такое рациональное отображение из C в P1(K) будет определено всюду. (Это не так, если есть сингулярности, поскольку, например, двойная точка, где кривая самопересекается, может давать неопределенный результат после рационального отображения.) Это дает представление, в котором основной геометрической особенностью является ветвление. Многие кривые, например гиперэллиптические, могут быть представлены абстрактно как ветвленные накрытия проективной прямой. Согласно формуле Римана — Гурвица, род зависит только от типа ветвления. Рациональная кривая — это кривая, бирационально эквивалентная проективной прямой (см. рациональное многообразие); ее род равен 0. Рациональная нормальная кривая в проективном пространстве Pn — это рациональная кривая, не лежащая ни в каком собственном линейном подпространстве; известно, что существует только один пример (с точностью до проективной эквивалентности), заданный параметрически в однородных координатах как [1 : t : t2 : … : tn]. См. скрученную кубику для первого интересного случая.