Бонавентура Кавальери: Жизнь и вклад в математику и оптику

Введение

Итальянский монах и математик (1598–1647)

Бонавентура Франческо Кавальери (Bonaventura Cavalerius; 1598 – 30 ноября 1647) был итальянским математиком, принадлежавшим к ордену иезуатов. Он известен своими работами над проблемами оптики и движения, исследованиями неделимых, являющихся предшественниками дифференциального и интегрального исчисления, и введением логарифмов в Италию. Принцип Кавальери в геометрии частично предвосхитил интегральное исчисление.

Жизнь

Родившись в Милане, Кавальери вступил в орден иезуатов (не следует путать с орденом иезуитов) в возрасте пятнадцати лет, приняв имя Бонавентура при становлении послушником, и оставался членом ордена до самой смерти. Он принес свои обеты в качестве полноправного члена ордена в 1615 году, в возрасте семнадцати лет, и вскоре после этого присоединился к дому иезуатов в Пизе. К 1616 году он был студентом геометрии в Пизанском университете. Там он попал под опеку Бенедетто Кастелли, который, вероятно, познакомил его с Галилео Галилеем. В 1617 году он ненадолго поступил ко двору Медичи во Флоренции под покровительством кардинала Федерико Борромео, но в следующем году вернулся в Пизу и начал преподавать математику вместо Кастелли. Он подал заявление на должность профессора математики в Болонском университете, но получил отказ. Ему также отказали в должности в Пармском университете, что, по его мнению, было связано с его принадлежностью к ордену иезуатов, поскольку Пармой в то время управлял орден иезуитов. В 1629 году он был назначен профессором математики в Болонском университете, что связывают с поддержкой Галилея в Болонском сенате. К концу жизни его здоровье значительно ухудшилось. Артрит лишил его возможности писать, и большая часть его переписки диктовалась и записывалась Стефано дельи Анжели, другим иезуатом и учеником Кавальери. Анжели продолжил развивать метод Кавальери. В 1647 году он умер, вероятно, от подагры. Целью работы "Lo Specchio Ustorio" было рассмотрение вопроса о том, как Архимед мог использовать зеркала для поджога римского флота при приближении к Сиракузам, вопрос, который до сих пор остается предметом споров. Книга вышла за рамки этой цели и также исследовала конические сечения, отражение света и свойства парабол. В этой книге он разработал теорию зеркал, имеющих форму парабол, гипербол и эллипсов, а также различные комбинации этих зеркал. Он продемонстрировал, что если, как было показано позднее, свет имеет конечную и определенную скорость, то в фокусе параболического, гиперболического или эллиптического зеркала возникает минимальное искажение изображения, хотя это было теоретическим, поскольку требуемые зеркала нельзя было изготовить с использованием современных технологий. Это позволило бы получать более четкие изображения, чем те, которые обеспечивали существовавшие в то время телескопы. Он также продемонстрировал некоторые свойства кривых. Первое заключается в том, что для светового луча, параллельного оси параболы и отраженного таким образом, чтобы пройти через фокус, сумма угла падения и угла отражения равна сумме любого другого подобного луча. Затем он продемонстрировал аналогичные результаты для гипербол и эллипсов. Второй результат, полезный при проектировании отражающих телескопов, заключается в том, что если линия проведена от точки вне параболы к фокусу, то отражение этой линии от внешней поверхности параболы параллельно оси. Другие результаты включают в себя свойство, что если линия проходит через гиперболу и ее внешний фокус, то ее отражение на внутренней части гиперболы пройдет через внутренний фокус; обратное предыдущему, что луч, направленный через параболу к внутреннему фокусу, отражается от внешней поверхности к внешнему фокусу; и свойство, что если линия проходит через один внутренний фокус эллипса, ее отражение на внутренней поверхности эллипса пройдет через другой внутренний фокус. Хотя некоторые из этих свойств были отмечены ранее, Кавальери дал первое доказательство многих из них. Он проиллюстрировал три различные концепции включения отражающих зеркал в свою модель телескопа. Первый план состоял из большого вогнутого зеркала, направленного на солнце, чтобы отражать свет во второе, меньшее, выпуклое зеркало. Вторая концепция Кавальери состояла из главного, усеченного, параболоидного зеркала и второго, выпуклого зеркала. Его третий вариант демонстрировал большое сходство с его предыдущей концепцией, заменив выпуклую вторичную линзу вогнутой линзой. Непосредственным применением метода неделимых является принцип Кавальери, который гласит, что объемы двух тел равны, если площади их соответствующих поперечных сечений во всех случаях равны. Два поперечных сечения соответствуют друг другу, если они являются пересечениями тела с плоскостями, равноудаленными от выбранной базовой плоскости. (Тот же принцип ранее использовался Цзу Гэнчжи (480–525) из Китая в конкретном случае вычисления объема сферы.) Метод неделимых, изложенный Кавальери, был мощным, но имел два ограничения в своей полезности. Во-первых, хотя доказательства Кавальери были интуитивно понятными и впоследствии оказались верными, они не были строгими; во-вторых, его изложение было сложным и непрозрачным. Хотя многие современные математики развивали метод неделимых, "Geometria indivisibilibus" получила суровую критику. Андре Таке и Поль Гульдин опубликовали ответы на "Geometria indivisibilibus". Особенно глубокая критика Гульдина предполагала, что метод Кавальери был заимствован из работ Иоганнеса Кеплера и Бартоломео Соверо, критиковал его метод за отсутствие строгости и утверждал, что не может быть осмысленного отношения между двумя бесконечностями, и поэтому бессмысленно сравнивать их друг с другом. Лунный кратер Кавалериус назван в честь Кавальери.

Born in Milan, Cavalieri joined the Jesuates order (not to be confused with the Jesuits) at the age of fifteen, taking the name Bonaventura upon becoming a novice of the order, and remained a member until his death. He took his vows as a full member of the order in 1615, at the age of seventeen, and shortly after joined the Jesuat house in Pisa. By 1616 he was a student of geometry at the University of Pisa. There he came under the tutelage of Benedetto Castelli, who probably introduced him to Galileo Galilei. In 1617 he briefly joined the Medici court in Florence, under the patronage of Cardinal Federico Borromeo, but the following year he returned to Pisa and began teaching Mathematics in place of Castelli. He applied for the Chair of Mathematics at the University of Bologna but was turned down. He was also turned down from a position at the University of Parma, which he believed was due to his membership of the Jesuate order, as Parma was administered by the Jesuit order at the time. In 1629 he was appointed Chair of Mathematics at the University of Bologna, which is attributed to Galileo's support of him to the Bolognese senate. Towards the end of his life, his health declined significantly. Arthritis prevented him from writing, and much of his correspondence was dictated and written by Stephano degli Angeli, a fellow Jesuate and student of Cavalieri. Angeli would go on to further develop Cavalieri's method. In 1647 he died, probably of gout. The aim of Lo Specchio Ustorio was to address the question of how Archimedes could have used mirrors to burn the Roman fleet as they approached Syracuse, a question still in debate. The book went beyond this purpose and also explored conic sections, reflections of light, and the properties of parabolas. In this book, he developed the theory of mirrors shaped into parabolas, hyperbolas, and ellipses, and various combinations of these mirrors. He demonstrated that if, as was later shown, light has a finite and determinate speed, there is minimal interference in the image at the focus of a parabolic, hyperbolic or elliptic mirror, though this was theoretical since the mirrors required could not be constructed using contemporary technology. This would produce better images than the telescopes that existed at the time. He also demonstrated some properties of curves. The first is that, for a light ray parallel to the axis of a parabola and reflected so as to pass through the focus, the sum of the incident angle and its reflection is equal to that of any other similar ray. He then demonstrated similar results for hyperbolas and ellipses. The second result, useful in the design of reflecting telescopes, is that if a line is extended from a point outside of a parabola to the focus, then the reflection of this line on the outside surface of the parabola is parallel to the axis. Other results include the property that if a line passes through a hyperbola and its external focus, then its reflection on the interior of the hyperbola will pass through the internal focus; the reverse of the previous, that a ray directed through the parabola to the internal focus is reflected from the outer surface to the external focus; and the property that if a line passes through one internal focus of an ellipse, its reflection on the internal surface of the ellipse will pass through the other internal focus. While some of these properties had been noted previously, Cavalieri gave the first proof of many. He illustrated three different concepts for incorporating reflective mirrors within his telescope model. Plan one consisted of a large, concave mirror directed towards the sun as to reflect light into a second, smaller, convex mirror. Cavalieri's second concept consisted of a main, truncated, paraboloid mirror and a second, convex mirror. His third option illustrated a strong resemblance to his previous concept, replacing the convex secondary lens with a concave lens. An immediate application of the method of indivisibles is Cavalieri's principle, which states that the volumes of two objects are equal if the areas of their corresponding cross sections are in all cases equal. Two cross sections correspond if they are intersections of the body with planes equidistant from a chosen base plane. (The same principle had been previously used by Zu Gengzhi (480–525) of China, in the specific case of calculating the volume of the sphere.) The method of indivisibles as set out by Cavalieri was powerful but was limited in its usefulness in two respects. First, while Cavalieri's proofs were intuitive and later demonstrated to be correct, they were not rigorous; second, his writing was dense and opaque. While many contemporary mathematicians furthered the method of indivisibles, the Geometria indivisibilibus critical reception was severe. Andre Taquet and Paul Guldin both published responses to the Geometria indivisibilibus. Guldin's particularly in depth critique suggested that Cavalieri's method was derived from the work of Johannes Kepler and Bartolomeo Sovero, attacked his method for a lack of rigorousness, and then argues that there can be no meaningful ratio between two infinities, and therefore it is meaningless to compare one to another. The lunar crater Cavalerius is named for Cavalieri.