Введение
Гомологическое построение в теории категорий
В математике некоторые функторы могут быть производными, чтобы получить другие функторы, тесно связанные с исходными. Эта операция, хотя и достаточно абстрактная, объединяет множество построений в различных областях математики.
Мотивация
Было отмечено в различных совершенно разных контекстах, что короткая точная последовательность часто порождает "длинную точную последовательность". Понятие производных функторов объясняет и проясняет многие из этих наблюдений. Предположим, что нам дан ковариантный левый точный функтор F : A → B между двумя абелевыми категориями A и B. Если 0 → A → B → C → 0 является короткой точной последовательностью в A, то применение F дает точную последовательность 0 → F(A) → F(B) → F(C), и возникает вопрос, как продолжить эту последовательность вправо, чтобы получить длинную точную последовательность. Строго говоря, этот вопрос сформулирован некорректно, поскольку существует множество различных способов продолжения данной точной последовательности вправо. Но оказывается, что (если A "достаточно хороша") существует единственный канонический способ сделать это, заданный правыми производными функторами F. Для каждого i≥1 существует функтор RiF : A → B, и вышеуказанная последовательность продолжается следующим образом: 0 → F(A) → F(B) → F(C) → R1F(A) → R1F(B) → R1F(C) → R2F(A) → R2F(B) → … Из этого следует, что F является точным функтором тогда и только тогда, когда R1F = 0; таким образом, в определенном смысле правые производные функторы F измеряют, насколько F далека от точности. Если объект A в вышеуказанной короткой точной последовательности инъективен, то последовательность расщепляется. Применение любого аддитивного функтора к расщепляющейся последовательности дает расщепляющуюся последовательность, следовательно, в частности, R1F(A) = 0. Правые производные функторы (для i>0) равны нулю на инъективных объектах: это является мотивацией для конструкции, представленной ниже.
Экст-функторы
Если R – кольцо, то категория всех левых R-модулей является абелевой категорией с достаточным количеством инъективных объектов. Если M – фиксированный левый R-модуль, то функтор Hom(M, –) левточно, а его правопроизводные функторы – это функторы Ext. Альтернативно, Ext также можно получить как левый производный функтор правого точного функтора Hom(–, M). Различные понятия кохомологии являются частными случаями функторов Ext и, следовательно, также производными функторами. Когомология группы – это правопроизводный функтор функтора инвариантов, который совпадает с Hom(R, M) (где R – тривиальный R-модуль), и поэтому когомология алгебры Ли g над некоторым коммутативным кольцом – это правопроизводный функтор функтора инвариантов, который совпадает с Hom(U(g), M) (где U(g) – универсальная огибающая алгебра g). Следовательно, когомология Хохшильда некоторой алгебры A – это правопроизводный функтор инвариантов, отображающий бимодуль в его центр, также называемый множеством инвариантов, который совпадает с Hom(A, M) (где A – огибающая алгебра M, и M рассматривается как A-бимодуль посредством обычного левого и правого умножения). Поэтому:
Various notions of cohomology are special cases of Ext functors and therefore also derived functors. Group cohomology is the right derived functor of the invariants functor which is the same as (where is the trivial module) and therefore Lie algebra cohomology of a Lie algebra over some commutative ring is the right derived functor of the invariants functor which is the same as (where is again the trivial module and is the universal enveloping algebra of ). Therefore Hochschild cohomology of some algebra is the right derived functor of invariants mapping a bimodule to its center, also called its set of invariants which is the same as (where is the enveloping algebra of and is considered an bimodule via the usual left and right multiplication). Therefore :
Функторы торса
Категория левых модулей также имеет достаточно проективных. Если – фиксированный правый -модуль, то тензорное произведение с дает правый точный ковариантный функтор. Категория модулей имеет достаточно проективных, так что левые производные функторы всегда существуют. Левые производные функторы тензорного функтора – это функторы Tor. Эквивалентно, можно определить симметрично как левые производные функторы . Фактически, можно объединить оба определения и определить как левый производный . Это часто отражает ситуацию с функторами Ext и когомологиями. Гомология группы – это левый производный функтор взятия коинвариантов, который совпадает с . Гомология алгебры Ли – это левый производный функтор взятия коинвариантов, который совпадает с . Гомология Хохшильда – это левый производный функтор взятия коинвариантов, который совпадает с . Вместо взятия отдельных левых производных функторов можно также взять полный производный функтор тензорного функтора. Это приводит к производному тензорному произведению , где – производная категория.
This includes several notions of homology as special cases. This often mirrors the situation with Ext functors and cohomology. Group homology is the left derived functor of taking coinvariants which is the same as Lie algebra homology is the left derived functor of taking coinvariants which is the same as Hochschild homology is the left derived functor of taking coinvariants which is the same as
Instead of taking individual left derived functors one can also take the total derived functor of the tensor functor. This gives rise to the derived tensor product where is the derived category.
Обобщение
Более современный (и более общий) подход к производным функторам использует язык производных категорий. В 1968 году Квиллен разработал теорию модельных категорий, которые предоставляют абстрактную категорно-теоретическую систему фибраций, кофибраций и слабых эквивалентностей. Обычно интересует основная категория гомотопии, полученная локализацией по слабым эквивалентностям. Присоединение Квиллена — это присоединение между модельных категорий, которое переходит в присоединение между категориями гомотопии. Например, категория топологических пространств и категория симплициальных множеств допускают модельные структуры Квиллена, присоединение нерва и реализации которых дает присоединение Квиллена, являющееся, фактически, эквивалентностью категорий гомотопии. Определенные объекты в модельной структуре обладают «хорошими свойствами» (относительно существования подъёмов относительно конкретных морфизмов) — это фибратные и кофибратные объекты, и каждый объект слабо эквивалентен фибратному кофибратному разрешению. Хотя изначально разработанная для работы с категорией топологических пространств, модельные структуры Квиллена встречаются во многих областях математики; в частности, категория цепных комплексов над любой абелевой категорией (модули, пучки модулей на топологическом пространстве или схеме и т. д.) допускает модельные структуры, чьи слабые эквивалентности — это морфизмы между цепными комплексами, сохраняющие гомологию. Часто у нас есть функтор между двумя такими модельными категориями (например, функтор глобальных сечений, отображающий комплекс абелевых пучков в очевидный комплекс абелевых групп), который сохраняет слабые эквивалентности *внутри подкатегории «хороших» (фибративных или кофибративных) объектов*. Сначала беря фибратное или кофибратное разрешение объекта, а затем применяя этот функтор, мы успешно расширяем его на всю категорию таким образом, что слабые эквивалентности всегда сохраняются (и, следовательно, он переходит в функтор из категории гомотопии). Это и есть «производный функтор». «Производные функторы» когомологий пучков, например, являются гомологиями результата применения этого производного функтора. Применяя их к пучку абелевых групп, интерпретируемому естественным образом как комплекс, сконцентрированный в гомологии, они измеряют неспособность функтора глобальных сечений сохранять слабые эквивалентности таких пучков, его неспособность к «точности». Общая теория модельных структур показывает уникальность этой конструкции (то есть она не зависит от выбора фибратного или кофибратного разрешения и т. д.).
Although originally developed to handle the category of topological spaces Quillen model structures appear in numerous places in mathematics; in particular the category of chain complexes from any Abelian category (modules, sheaves of modules on a topological space or scheme, etc.) admit a model structure whose weak equivalences are those morphisms between chain complexes preserving homology. Often we have a functor between two such model categories (e. g. the global sections functor sending a complex of Abelian sheaves to the obvious complex of Abelian groups) that preserves weak equivalences *within the subcategory of “good” (fibrant or cofibrant) objects. * By first taking a fibrant or cofibrant resolution of an object and then applying that functor, we have successfully extended it to the whole category in such a way that weak equivalences are always preserved (and hence it descends to a functor from the homotopy category). This is the “derived functor.” The “derived functors” of sheaf cohomology, for example, are the homologies of the output of this derived functor. Applying these to a sheaf of Abelian groups interpreted in the obvious way as a complex concentrated in homology, they measure the failure of the global sections functor to preserve weak equivalences of such, its failure of “exactness.” General theory of model structures shows the uniqueness of this construction (that it does not depend of choice of fibrant or cofibrant resolution, etc.)