Введение
Волна, остающаяся в постоянном положении
В физике стоячая волна, также известная как стационарная волна, — это волна, которая колеблется во времени, но профиль её максимальной амплитуды не перемещается в пространстве. Максимальная амплитуда колебаний волны в любой точке пространства постоянна во времени, а колебания в различных точках волны находятся в фазе. Точки, в которых абсолютное значение амплитуды минимально, называются узлами, а точки, в которых абсолютное значение амплитуды максимально, — антиузлами. Впервые научное описание стоячих волн дал Майкл Фарадей в 1831 году. Фарадей наблюдал стоячие волны на поверхности жидкости в вибрирующем сосуде. Франц Мельде ввёл термин «стоячая волна» (нем. stehende Welle или Stehwelle) около 1860 года и продемонстрировал это явление в своём классическом эксперименте с колеблющимися струнами. Это явление может возникать из-за движения среды в направлении, противоположном движению волны, или же в неподвижной среде в результате интерференции двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Наиболее частой причиной возникновения стоячих волн является резонанс, при котором стоячие волны образуются внутри резонатора из-за интерференции волн, отражающихся вперёд и назад на резонансной частоте резонатора. Для волн одинаковой амплитуды, движущихся в противоположных направлениях, в среднем отсутствует чистый перенос энергии.
Подвижная среда
В качестве примера первого типа, при определенных метеорологических условиях в атмосфере за горными хребтами формируются стоячие волны. Такие волны часто используются пилотами планеров. Стоячие волны и гидравлические скачки также образуются на быстром течении речных порогов и приливных течений, таких как водоворот Сольстраумен. Условием их образования в речных течениях является течение с небольшой глубиной, где инерция воды преодолевает силу тяжести из-за сверхкритической скорости потока (число Фруда: 1,7 – 4,5, превышение 4,5 приводит к образованию вертикальной стоячей волны), и поэтому поток не замедляется препятствием и не отклоняется в сторону. Многие стоячие речные волны популярны среди серферов.
Математическое описание
В данном разделе рассматриваются типичные одномерные и двумерные случаи стоячих волн. Сначала на примере бесконечно длинной струны показано, как идентичные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, интерферируют, образуя стоячие волны. Далее, два примера струн конечной длины с различными граничными условиями демонстрируют, как эти условия ограничивают частоты, при которых могут формироваться стоячие волны. Затем на примере звуковых волн в трубе показано, как те же принципы применимы к продольным волнам с аналогичными граничными условиями. Стоячие волны также могут возникать в двух- или трехмерных резонаторах. В случае стоячих волн на двумерных мембранах, таких как мембраны барабанов, показанных в анимациях выше, узлы превращаются в узловые линии – линии на поверхности, где нет смещения, разделяющие области, вибрирующие в противофазе. Эти узоры узловых линий называются фигурами Хладни. В трехмерных резонаторах, таких как корпуса музыкальных инструментов и микроволновые резонаторы, существуют узловые поверхности. В данном разделе также представлен пример двухмерной стоячей волны с прямоугольной границей, иллюстрирующий возможность расширения этой концепции на более высокие размерности.
Соотношение постоянной волны, фазы и передача энергии
Если две противоположно движущиеся волны не имеют одинаковой амплитуды, они не будут полностью гаситься в узлах – точках, где волны сдвинуты по фазе на 180°, – поэтому амплитуда стоячей волны в узлах не будет равна нулю, а лишь минимальной. Коэффициент стоячей волны (КСВ) – это отношение амплитуды в антиузле (максимуме) к амплитуде в узле (минимуме). Чистая стоячая волна будет иметь бесконечный КСВ. Она также будет иметь постоянную фазу в любой точке пространства (но может испытывать инверсию на 180° каждые полпериода). Конечное, ненулевое значение КСВ указывает на волну, которая является частично стоячей и частично бегущей. Такие волны можно разложить в суперпозицию двух волн: компоненты бегущей волны и компоненты стоячей волны. КСВ, равный единице, указывает на то, что волна не имеет стоячей составляющей – это чисто бегущая волна, поскольку отношение амплитуд равно 1. Чистая стоячая волна не передает энергию от источника к приемнику. Однако волна все равно подвержена потерям в среде. Эти потери проявляются в виде конечного КСВ, указывающего на компонент бегущей волны, уходящей от источника для компенсации потерь. Даже если КСВ теперь конечен, энергия все равно может не достигать приемника, поскольку бегущая компонента лишь компенсирует потери. Однако в среде без потерь конечное значение КСВ подразумевает определенную передачу энергии к приемнику.
Примеры
Один из простых примеров для понимания стоячих волн — два человека, раскачивающих оба конца скакалки. Если они раскачивают её синхронно, скакалка может формировать регулярный узор волн, колеблющихся вверх и вниз, с неподвижными точками вдоль скакалки, где она почти не двигается (узлы), и точками, где амплитуда колебаний максимальна (антиноды).
Акустический резонанс
Постоянные волны также наблюдаются в физических средах, таких как струны и воздушные столбы. Любые волны, распространяющиеся по среде, будут отражаться обратно при достижении конца. Этот эффект наиболее заметен в музыкальных инструментах, где при различных кратных собственной частоте вибрирующей струны или воздушного столба возникает стоячая волна, позволяющая идентифицировать гармоники. Узлы образуются в зафиксированных концах, а антиузлы – в открытых. Если струна закреплена только с одного конца, доступны только нечетные гармоники. В открытом конце трубы антиузел не будет располагаться точно на конце, так как его положение изменяется из-за контакта с воздухом, поэтому применяется поправка на конечный эффект для его точного определения. Плотность струны влияет на частоту, при которой возникают гармоники: чем выше плотность, тем ниже должна быть частота для формирования стоячей волны той же гармоники.
Видимый свет
Постоянные волны также наблюдаются в оптических средах, таких как оптические волноводы и оптические резонаторы. Лазеры используют оптические резонаторы в виде пары зеркально расположенных зеркал, образующих интерферометр Фабри-Перо. Активная среда в резонаторе (например, кристалл) излучает свет когерентно, возбуждая стоячие световые волны внутри резонатора. Длина волны света очень мала (порядка нанометров, 10−9 м), поэтому стоячие волны имеют микроскопические размеры. Одно из применений стоячих световых волн – измерение малых расстояний с использованием оптических плоскостей.
Рентгеновские лучи
Интерференция между пучками рентгеновских лучей может формировать поле рентгеновских стоячих волн (XSW). Благодаря короткой длине волны рентгеновских лучей (менее 1 нанометра) это явление можно использовать для измерения событий атомного масштаба на поверхностях материалов. XSW генерируется в области, где рентгеновский луч интерферирует с дифрагированным лучом от почти идеальной монокристаллической поверхности или с отраженным лучом от рентгеновского зеркала. Путем настройки кристаллической геометрии или длины волны рентгеновских лучей XSW можно перемещать в пространстве, что вызывает сдвиг в интенсивности рентгеновской флуоресценции или выхода фотоэлектронов от атомов вблизи поверхности. Этот сдвиг можно анализировать для определения местоположения конкретного атома относительно базовой кристаллической структуры или зеркальной поверхности. Метод XSW применялся для уточнения атомных деталей примесей в полупроводниках, атомной и молекулярной адсорбции на поверхностях, а также химических превращений, происходящих в катализе.
Механические волны
Постоянные волны могут быть механически возбуждены в твердой среде посредством резонанса. Простой пример – два человека, раскачивающие концы скакалки. Если они раскачивают ее синхронно, скакалка образует регулярный узор с узлами и пучностями и кажется неподвижной, отсюда и название «стоячая волна». Аналогично, стоячая волна может быть наложена на консольную балку путем приложения колебаний к основанию. В этом случае свободный конец перемещается на наибольшее расстояние в поперечном направлении по сравнению с любой точкой вдоль балки. Такое устройство может использоваться в качестве датчика для отслеживания изменений частоты или фазы резонанса волокна. Одно из применений – в качестве измерительного прибора для размерной метрологии.
Сейсмические волны
Стоячие поверхностные волны на Земле наблюдаются как собственные колебания Земли.
Волны Фарадея
Волна Фарадея — это нелинейная стоячая волна на границе раздела воздуха и жидкости, возникающая из-за гидродинамической неустойчивости. Её можно использовать в качестве жидкого шаблона для сборки микромасштабных материалов.
Сеихи
Сейш – это пример стоячей волны в замкнутом водоеме. Он характеризуется колебательным поведением уровня воды на обоих концах водоема и обычно имеет узловую точку вблизи середины, где наблюдается очень незначительное изменение уровня воды. Его следует отличать от простого штормового нагона, при котором колебания отсутствуют. В крупных озерах период таких колебаний может составлять от нескольких минут до нескольких часов; например, продольный период Женевского озера составляет 73 минуты, а его поперечный сейш – около 10 минут, в то время как озеро Гурон демонстрирует резонанс с периодами от 1 до 2 часов. См. статью «Сейши озёр».