Введение
Физическая система, реагирующая на восстанавливающую силу, обратно пропорциональную смещению, – это гармонический осциллятор в классической механике.
the harmonic oscillator in classical mechanics
В классической механике гармонический осциллятор – это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает восстанавливающую силу F, пропорциональную смещению x:
где k – положительная константа. Если F – единственная сила, действующая на систему, система называется простым гармоническим осциллятором, и она совершает простое гармоническое движение: синусоидальные колебания вокруг точки равновесия с постоянной амплитудой и постоянной частотой (не зависящей от амплитуды). Если присутствует сила трения (демпфирование), пропорциональная скорости, то гармонический осциллятор описывается как затухающий осциллятор. В зависимости от коэффициента трения система может: колебаться с частотой ниже, чем в незатухающем случае, и с амплитудой, уменьшающейся со временем (недодемпфированный осциллятор); затухать к положению равновесия без колебаний (передемпфированный осциллятор). Граничное решение между недодемпфированным и передемпфированным осциллятором достигается при определенном значении коэффициента трения и называется критически демпфированным. Если присутствует внешняя сила, зависящая от времени, то гармонический осциллятор описывается как вынужденный осциллятор. Механические примеры включают маятники (при малых углах отклонения), массы, связанные с пружинами, и акустические системы. Другие аналогичные системы включают электрические гармонические осцилляторы, такие как RLC-цепи. Модель гармонического осциллятора имеет большое значение в физике, поскольку любая масса, подверженная силе в устойчивом равновесии, ведет себя как гармонический осциллятор при малых колебаниях. Гармонические осцилляторы широко распространены в природе и используются во многих искусственных устройствах, таких как часы и радиосхемы. Они являются источником практически всех синусоидальных колебаний и волн.
Oscillate with a frequency lower than in the undamped case, and an amplitude decreasing with time (underdamped oscillator). Decay to the equilibrium position, without oscillations (overdamped oscillator). The boundary solution between an underdamped oscillator and an overdamped oscillator occurs at a particular value of the friction coefficient and is called critically damped. If an external time dependent force is present, the harmonic oscillator is described as a driven oscillator. Mechanical examples include pendulums (with small angles of displacement), masses connected to springs, and acoustical systems. Other analogous systems include electrical harmonic oscillators such as RLC circuits. The harmonic oscillator model is very important in physics, because any mass subject to a force in stable equilibrium acts as a harmonic oscillator for small vibrations. Harmonic oscillators occur widely in nature and are exploited in many manmade devices, such as clocks and radio circuits. They are the source of virtually all sinusoidal vibrations and waves.
Параметрические осцилляторы
Параметрический осциллятор – это вынужденный гармонический осциллятор, в котором энергия подводимой силы обеспечивается изменением параметров осциллятора, таких как демпфирование или восстанавливающая сила. Хорошо известный пример параметрического колебания – это "раскачивание" на качелях на детской площадке. Человек на движущихся качелях может увеличить амплитуду колебаний, не прикладывая внешней силы (толчков), изменяя момент инерции качелей, раскачиваясь вперед и назад ("раскачивая") или попеременно вставая и приседая в такт колебаниям качелей. Изменение параметров приводит систему в движение. Примерами параметров, которые могут изменяться, являются резонансная частота и демпфирование. Параметрические осцилляторы используются во многих областях. Классический параметрический осциллятор на варикапе колеблется при периодическом изменении емкости диода. Схема, изменяющая емкость диода, называется "насосом" или "драйвером". В микроволновой электронике параметрические осцилляторы на основе волноводов/YAG работают аналогичным образом. Конструктор периодически изменяет параметр для возбуждения колебаний. Параметрические осцилляторы разработаны как малошумящие усилители, особенно в радио- и микроволновом диапазонах частот. Тепловой шум минимален, поскольку изменяется реактивное сопротивление (а не активное). Другое распространенное применение – преобразование частоты, например, преобразование из аудио- в радиочастоты. Например, оптический параметрический осциллятор преобразует входную лазерную волну в две выходные волны с более низкой частотой. Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система подвергается параметрическому возбуждению и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от вынужденных колебаний, поскольку воздействие проявляется как изменение параметра системы во времени. Этот эффект отличается от обычного резонанса тем, что демонстрирует явление неустойчивости.
Parametric oscillators are used in many applications. The classical varactor parametric oscillator oscillates when the diode's capacitance is varied periodically. The circuit that varies the diode's capacitance is called the "pump" or "driver". In microwave electronics, waveguide/YAG based parametric oscillators operate in the same fashion. The designer varies a parameter periodically to induce oscillations. Parametric oscillators have been developed as low noise amplifiers, especially in the radio and microwave frequency range. Thermal noise is minimal, since a reactance (not a resistance) is varied. Another common use is frequency conversion, e. g., conversion from audio to radio frequencies. For example, the Optical parametric oscillator converts an input laser wave into two output waves of lower frequency
Parametric resonance occurs in a mechanical system when a system is parametrically excited and oscillates at one of its resonant frequencies. Parametric excitation differs from forcing, since the action appears as a time varying modification on a system parameter. This effect is different from regular resonance because it exhibits the instability phenomenon.
Изменение энергии в системе пружины
С точки зрения энергии, все системы обладают двумя типами энергии: потенциальной и кинетической. Когда пружина растягивается или сжимается, она накапливает упругую потенциальную энергию, которая затем преобразуется в кинетическую. Потенциальная энергия, запасенная в пружине, определяется уравнением.
Когда пружина растягивается или сжимается, кинетическая энергия массы преобразуется в потенциальную энергию пружины. В соответствии с законом сохранения энергии, если принять за нулевую точку положение равновесия, то когда пружина достигает максимальной потенциальной энергии, кинетическая энергия массы становится равной нулю. Когда пружина освобождается, она стремится вернуться в положение равновесия, и вся её потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию массы.