Введение

Повторяющиеся колебания вокруг состояния равновесия – волны в научном смысле.

В физике, математике, инженерии и смежных областях волна представляет собой распространяющееся динамическое возмущение (отклонение от равновесия) одной или нескольких величин. Периодические волны многократно колеблются вокруг равновесного (состоящего в покое) значения с определенной частотой. Если вся форма волны перемещается в одном направлении, то говорят о бегущей волне; в отличие от этого, пара наложенных периодических волн, движущихся в противоположных направлениях, образует стоячую волну. В стоячей волне амплитуда колебаний имеет нули в некоторых точках, где амплитуда волны кажется меньше или даже равна нулю. Волны часто описываются волновым уравнением (поле стоячей волны, образованное двумя противоположно направленными волнами) или односторонним волновым уравнением для распространения одной волны в заданном направлении. В классической физике наиболее часто изучаются два типа волн: механические волны и электромагнитные волны. В механической волне напряжения и деформации колеблются вокруг механического равновесия. Механическая волна – это локальная деформация (напряжение) в некоторой физической среде, которая распространяется от частицы к частице, создавая локальные напряжения, вызывающие деформацию соседних частиц. Например, звуковые волны – это изменения локального давления и движения частиц, распространяющиеся в среде. Другие примеры механических волн – сейсмические волны, гравитационные волны, поверхностные волны и колебания струн. В электромагнитной волне (например, в свете) связь между электрическим и магнитным полями поддерживает распространение волн, включающих эти поля, в соответствии с уравнениями Максвелла. Электромагнитные волны могут распространяться в вакууме и в некоторых диэлектрических средах (на длинах волн, где они считаются прозрачными). Электромагнитные волны, определяемые их частотами (или длинами волн), имеют более конкретные названия, включая радиоволны, инфракрасное излучение, терагерцевые волны, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи и гамма-лучи. Другие типы волн включают гравитационные волны, которые являются возмущениями пространства-времени, распространяющимися в соответствии с общей теорией относительности; волны теплодиффузии; плазменные волны, сочетающие механические деформации и электромагнитные поля; реакционно-диффузионные волны, такие как в реакции Белоусова-Жаботинского, и многие другие. Механические и электромагнитные волны переносят энергию, импульс и информацию, но не переносят частицы в среде. В математике и электронике волны изучаются как сигналы. С другой стороны, некоторые волны имеют огибающие, которые вообще не перемещаются, например, стоячие волны (которые являются фундаментальными для музыки) и гидравлические скачки. Физическое волновое поле почти всегда ограничено некоторой конечной областью пространства, называемой его областью определения. Например, сейсмические волны, генерируемые землетрясениями, значимы только внутри и на поверхности планеты, поэтому ими можно пренебречь за ее пределами. Однако волны с бесконечной областью определения, простирающиеся на все пространство, обычно изучаются в математике и являются очень ценными инструментами для понимания физических волн в конечных областях. Плоская волна – важная математическая идеализация, при которой возмущение одинаково вдоль любой (бесконечной) плоскости, нормальной к определенному направлению распространения. Математически, самая простая волна – это синусоидальная плоская волна, в которой в любой точке поля происходит простое гармоническое движение с одной частотой. В линейных средах сложные волны обычно можно разложить как сумму множества синусоидальных плоских волн, имеющих разные направления распространения и/или разные частоты. Плоская волна классифицируется как поперечная волна, если возмущение поля в каждой точке описывается вектором, перпендикулярным направлению распространения (также направлению передачи энергии); или продольная волна, если эти векторы выровнены с направлением распространения. Механические волны включают как поперечные, так и продольные волны; с другой стороны, электромагнитные плоские волны строго поперечные, в то время как звуковые волны в жидкостях (таких как воздух) могут быть только продольными. Физическое направление колебательного поля относительно направления распространения также называется поляризацией волны, которая может быть важной характеристикой.

Одиночные волны

Волну можно описать так же, как и поле, а именно как функцию, где – положение, а – время. Значение – это точка в пространстве, конкретно в области, где волна определена. В математическом плане это обычно вектор в декартовой трехмерной системе координат. Однако во многих случаях можно пренебречь одним измерением и считать, что – точка на декартовой плоскости. Это справедливо, например, при изучении колебаний барабанной перепонки. Можно даже ограничить точкой на декартовой прямой – то есть множеством действительных чисел. Это применимо, например, при изучении колебаний скрипичной струны или блокфлейты. Время , напротив, всегда рассматривается как скаляр, то есть действительное число. Значение может быть любой физической величиной, представляющей интерес и зависящей от времени в точке . Например, если описывает колебания внутри упругого тела, значение обычно является вектором, указывающим текущее смещение материальных частиц из положения, которое они бы занимали в точке при отсутствии колебаний. Для электромагнитной волны значение может быть вектором электрического поля , вектором магнитного поля , или любой связанной величиной, такой как вектор Пойнтинга. В гидродинамике значение может представлять собой вектор скорости жидкости в точке , или любое скалярное свойство, такое как давление, температура или плотность. В химической реакции может быть концентрацией какого-либо вещества в окрестности точки в реакционной среде. Для любой размерности (1, 2 или 3) область определения волны является подмножеством , таким что значение функции определено для любой точки в . Например, при описании движения барабанной перепонки можно рассматривать как диск (круг) на плоскости с центром в начале координат , а – как вертикальное смещение перепонки в точке в момент времени .

Наложение

Волны одного типа часто наслаиваются и встречаются одновременно в заданной точке пространства и времени. Свойства в этой точке являются суммой свойств каждой волновой компоненты в этой точке. Как правило, скорости не совпадают, поэтому форма волны изменяется во времени и пространстве.

Дифференциальные волновые уравнения

Другой способ описать и изучить семейство волн — дать математическое уравнение, которое, вместо того чтобы явно указывать значение , лишь ограничивает, как эти значения могут изменяться со временем. Тогда рассматриваемое семейство волн состоит из всех функций , удовлетворяющих этим ограничениям, то есть всех решений уравнения. Этот подход чрезвычайно важен в физике, поскольку ограничения обычно являются следствием физических процессов, вызывающих эволюцию волны. Например, если — температура внутри блока некоторого однородного и изотропного твердого материала, то её эволюция ограничена частичным дифференциальным уравнением:

где — тепло, выделяемое в единицу объема и времени в окрестности точки в момент времени (например, в результате происходящих там химических реакций); — декартовы координаты точки; — (первая) производная по ; а — вторая производная по (символ "" означает, что при взятии производной по некоторой переменной все остальные переменные считаются фиксированными). Это уравнение можно вывести из законов физики, управляющих диффузией тепла в твердых телах. Поэтому оно называется уравнением теплопроводности в математике, хотя оно применимо ко многим другим физическим величинам, помимо температуры. В качестве другого примера можно описать все возможные звуки, отражающиеся внутри сосуда с газом, функцией , дающей давление в точке и момент времени внутри этого сосуда. Если газ изначально имел равномерную температуру и состав, то эволюция ограничена формулой:

Здесь — дополнительная сила сжатия, прикладываемая к газу вблизи точки каким-либо внешним процессом, например, динамиком или поршнем рядом с . Это же дифференциальное уравнение описывает поведение механических колебаний и электромагнитных полей в однородных изотропных непроводящих твердых телах. Обратите внимание, что это уравнение отличается от уравнения теплопроводности лишь тем, что в левой части стоит , вторая производная по времени, а не первая. Однако это небольшое изменение существенно влияет на множество решений. Это дифференциальное уравнение называется «волновым» уравнением в математике, хотя оно описывает лишь один очень специфический вид волн.

Волновые формы

Форма функции F в формуле д’Алембера включает аргумент x − vt. Постоянные значения этого аргумента соответствуют постоянным значениям F, и эти постоянные значения достигаются, если x увеличивается с той же скоростью, что и vt. То есть волна, имеющая форму функции F, будет двигаться в положительном направлении оси x со скоростью v (а функция G будет распространяться с той же скоростью в отрицательном направлении оси x). В случае периодической функции F с периодом λ, то есть F(x + λ − vt) = F(x − vt), периодичность F в пространстве означает, что мгновенный снимок волны в данный момент времени t покажет периодическое изменение волны в пространстве с периодом λ (длина волны). Аналогичным образом, эта периодичность F подразумевает и периодичность по времени: F(x − v(t + T)) = F(x − vt) при условии, что vT = λ, следовательно, наблюдение волны в фиксированной точке x покажет, что волна периодически колеблется во времени с периодом T = λ/v.

Амплитуда и модуляция

Амплитуда волны может быть постоянной (в этом случае волна является непрерывной волной, или волной постоянной амплитуды), или может быть модулирована таким образом, чтобы изменяться во времени и/или в пространстве. Очертание изменения амплитуды называется огибающей волны. Математически модулированную волну можно записать в виде:

где – огибающая амплитуды волны, – волновое число и – фаза. Если групповая скорость (см. ниже) не зависит от длины волны, это уравнение можно упростить следующим образом:

что показывает, что огибающая движется с групповой скоростью и сохраняет свою форму. В противном случае, когда групповая скорость зависит от длины волны, форма импульса изменяется, что часто описывается с помощью уравнения огибающей.

Фазовая скорость и групповая скорость

Существует две скорости, связанные с волнами: фазовая и групповая. Фазовая скорость – это скорость распространения фазы волны в пространстве: любая заданная фаза волны (например, гребень) будет казаться движущейся с этой скоростью. Фазовая скорость выражается через длину волны λ (лямбда) и период T.

Групповая скорость – это характеристика волн, имеющих четко выраженную огибающую, определяющая скорость распространения в пространстве (то есть фазовую скорость) общей формы амплитуды волны – модуляции или огибающей.

Плоскостные волны

Плоская волна — это тип волны, значение которой изменяется только в одном пространственном направлении. То есть, её значение постоянно на плоскости, перпендикулярной этому направлению. Плоские волны могут быть заданы вектором единичной длины, указывающим направление, в котором волна изменяется, и волновым профилем, описывающим, как волна изменяется в зависимости от смещения вдоль этого направления и времени. Поскольку волновой профиль зависит только от положения в комбинации , любое смещение в направлениях, перпендикулярных , не может повлиять на значение поля. Плоские волны часто используются для моделирования электромагнитных волн на большом расстоянии от источника. Для электромагнитных плоских волн электрическое и магнитное поля сами по себе поперечны направлению распространения и также перпендикулярны друг другу.

Стоящие волны

Постоянная волна, также известная как стационарная волна, – это волна, форма огибающей которой остаётся неизменной во времени. Это явление возникает в результате интерференции двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Суммирование двух встречных волн (с одинаковой амплитудой и частотой) приводит к образованию стационарной волны. Стационарные волны часто возникают, когда препятствие блокирует дальнейшее распространение волны, вызывая её отражение и, следовательно, появление встречной волны. Например, при отклонении струны скрипки поперечные волны распространяются до точек закрепления струны на подставке и порожке, где они отражаются. На подставке и порожке две встречные волны находятся в противофазе и гасят друг друга, образуя узел. Между двумя узлами находится антиузел, где две встречные волны максимально усиливают друг друга. При этом не происходит переноса энергии вдоль волны во времени.

Одиночные волны

Солитон, или одиночная волна, — это самоподдерживающийся волновой пакет, сохраняющий свою форму при распространении с постоянной скоростью. Солитоны возникают в результате компенсации нелинейных и дисперсионных эффектов в среде. (Дисперсионные эффекты — это свойство некоторых систем, при котором скорость волны зависит от её частоты.) Солитоны являются решениями широкого класса слабонелинейных дисперсионных уравнений в частных производных, описывающих физические системы.

Распространение

Распространение волн — это любой из способов, которыми волны перемещаются. Распространение одной волны можно рассчитать с помощью волнового уравнения второго порядка (стоячее волновое поле) или одностороннего волнового уравнения первого порядка. В зависимости от направления колебаний относительно направления распространения, можно различать продольные и поперечные волны. Электромагнитные волны распространяются как в вакууме, так и в материальных средах. Распространение других типов волн, таких как звук, может происходить только в среде.

Отражение плоских волн в полупространстве

Распространение и отражение плоских волн, например, волны давления (P-волны) или волны сдвига (SH-волны или SV-волны), – явления, которые впервые были описаны в рамках классической сейсмологии и теперь считаются основополагающими понятиями в современной сейсмической томографии. Аналитическое решение этой задачи существует и хорошо известно. Решение в частотной области можно получить, предварительно выполнив разложение Гельмгольца поля перемещений, которое затем подставляется в волновое уравнение. На основе этого можно вычислить собственные моды плоской волны.

Распространение волны SV

Аналитическое решение для волны SV в полупространстве показывает, что плоская волна SV, за исключением особых случаев, отражается обратно в область в виде P-волны и волны SV. Угол отраженной волны SV совпадает с углом падающей волны, а угол отраженной P-волны больше угла волны SV. При одинаковой частоте длина волны SV меньше длины волны P. Этот факт показан на данной анимированной иллюстрации.

Распространение P-волны

Подобно волне SV, падающая волна P, как правило, отражается как волны P и SV. Однако существуют особые случаи, когда механизм отражения отличается.

Поглощение

Волны обычно определяются в средах, которые позволяют большей части или всей энергии волны распространяться без потерь. Однако материалы могут характеризоваться как "поглощающие", если они отнимают энергию у волны, обычно преобразуя её в тепло. Это явление называется "поглощением". Материал, поглощающий энергию волны при прохождении через него или при отражении, характеризуется комплексным показателем преломления. Степень поглощения обычно зависит от частоты (длины волны) волны, что, например, объясняет, почему объекты могут иметь цвет.

Отражение

Когда волна встречает отражающую поверхность, она изменяет направление таким образом, что угол между падающей волной и нормалью к поверхности равен углу между отражённой волной и той же нормалью.

Преломление

Преломление — это явление изменения скорости волны. Математически это выражается в изменении величины фазовой скорости. Как правило, преломление происходит при переходе волны из одной среды в другую. Степень преломления волны материалом определяется показателем преломления этого материала. Связь между направлениями падения и преломления и показателями преломления двух сред описывается законом Снеллиуса.

Дифракция

Волна демонстрирует дифракцию при встрече с препятствием, огибающим волну, или при распространении после прохождения через отверстие. Эффекты дифракции становятся более заметными, когда размер препятствия или отверстия сопоставим с длиной волны.

Вмешательство

Когда волны в линейной среде (обычный случай) пересекаются в некоторой области пространства, они на самом деле не взаимодействуют друг с другом, а продолжают распространяться, как если бы другой волны не было. Однако в любой точке этой области физические величины, описывающие эти волны, складываются в соответствии с принципом суперпозиции. Если волны имеют одинаковую частоту и фиксированную разность фаз, то обычно существуют положения, в которых две волны находятся в фазе и их амплитуды складываются, а в других положениях они находятся в противофазе и их амплитуды (частично или полностью) гасятся. Это называется интерференционной картиной.

Поляризация

Феномен поляризации возникает, когда волновое движение может происходить одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Поляризованными могут быть, например, поперечные волны. Когда термин "поляризация" используется без дополнительных уточнений, он обычно подразумевает частный, простой случай – линейную поляризацию. Поперечная волна является линейно поляризованной, если она колеблется только в одном направлении или в одной плоскости. В случае линейной поляризации часто полезно указывать относительную ориентацию этой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, в которой происходит колебание, например, "горизонтальную", если плоскость поляризации параллельна поверхности земли. Электромагнитные волны, распространяющиеся в свободном пространстве, например, являются поперечными и могут быть поляризованы с помощью поляризационного фильтра. Продольные волны, такие как звуковые волны, не проявляют поляризацию, поскольку для них существует только одно направление колебаний – вдоль направления распространения.

Рассеивание

Волна испытывает дисперсию, когда либо фазовая скорость, либо групповая скорость зависят от частоты волны. Дисперсию легче всего наблюдать, пропуская белый свет через призму, что приводит к образованию спектра цветов радуги. Исаак Ньютон проводил эксперименты со светом и призмами, представив свои результаты в труде «Оптика» (1704), в котором показал, что белый свет состоит из нескольких цветов, и эти цвета нельзя разложить на более простые составляющие.

Эффект Доплера

Эффект Доплера, или доплеровский сдвиг, — это изменение частоты волны относительно наблюдателя, находящегося в движении по отношению к источнику волны. Он назван в честь австрийского физика Кристиана Доплера, описавшего это явление в 1842 году.

Механические волны

Механическая волна — это колебание среды, и поэтому она переносит энергию посредством среды. Хотя волны могут распространяться на большие расстояния, перемещение самой среды — материала — ограничено. Следовательно, колеблющийся материал не смещается далеко от своего первоначального положения. Механические волны могут возникать только в средах, обладающих упругостью и инерцией. Существуют три типа механических волн: поперечные, продольные и поверхностные.

Волны тела

Волны, распространяющиеся в теле среды, проходят через её внутренние области по траекториям, определяемым свойствами материала, такими как плотность и модуль упругости (жёсткость). Плотность и модуль упругости, в свою очередь, изменяются в зависимости от температуры, состава и фазового состояния материала. Этот эффект аналогичен преломлению световых волн. Два типа колебаний частиц соответствуют двум типам волн, распространяющихся в теле среды: первичные и вторичные волны.

Сейсмические волны

Сейсмические волны — это волны энергии, распространяющиеся через слои Земли и возникающие в результате землетрясений, извержений вулканов, движения магмы, крупных оползней и мощных взрывов, как естественных, так и искусственных, излучающих низкочастотную акустическую энергию. Они подразделяются на объемные волны — первичные (P-волны) и вторичные (S-волны) — и поверхностные волны, такие как волны Рэлея, волны Лав и волны Стоунли.

Ударные волны

Ударная волна — это тип распространяющегося возмущения. Когда волна движется быстрее локальной скорости звука в среде, она становится ударной волной. Подобно обычной волне, ударная волна переносит энергию и может распространяться в среде, однако она характеризуется внезапным, почти скачкообразным изменением давления, температуры и плотности среды.

Сдвижные волны

Сдвиговые волны — это объемные волны, возникающие благодаря упругости на сдвиг и инерции. Они могут распространяться только в твердых телах и в меньшей степени в жидкостях с достаточно высокой вязкостью.

Электромагнитные волны

Электромагнитная волна состоит из двух волн – колебаний электрического и магнитного полей. Электромагнитная волна распространяется в направлении, перпендикулярном направлению колебаний обоих полей. В XIX веке Джеймс Клерк Максвелл показал, что в вакууме электрическое и магнитное поля удовлетворяют волновому уравнению со скоростью, равной скорости света. Из этого вытекала идея о том, что свет является электромагнитной волной. Экспериментальное подтверждение объединения света и электромагнитных волн было получено Герцем в конце 1880-х годов. Электромагнитные волны могут иметь различные частоты (и, следовательно, длины волн) и классифицируются по волновым диапазонам, таким как радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновское излучение и гамма-излучение. Диапазон частот в каждом из этих диапазонов непрерывен, а границы диапазонов в основном условны, за исключением видимого света, который должен восприниматься нормальным человеческим глазом.

Уравнение Шредингера

Уравнение Шрёдингера описывает волновое поведение частиц в квантовой механике. Решения этого уравнения — это волновые функции, которые можно использовать для описания плотности вероятности обнаружения частицы.

Уравнение Дирака

Уравнение Дирака — это релятивистское волновое уравнение, описывающее электромагнитные взаимодействия. Волны Дирака с полной строгостью объяснили тонкие детали спектра водорода. Это волновое уравнение также предсказало существование новой формы материи — антиматерии, существование которой ранее не предполагалось и не наблюдалось, но впоследствии было экспериментально подтверждено. В рамках квантовой теории поля уравнение Дирака переинтерпретируется для описания квантовых полей, соответствующих частицам со спином 1/2.

Гравитационные волны

Гравитационные волны — это волны, возникающие в текучей среде или на границе между двумя средами, когда сила тяжести или выталкивающая сила стремится восстановить равновесие. Наиболее распространенным примером являются поверхностные волны на воде.

Гравитационные волны

Гравитационные волны также распространяются в пространстве. Первое обнаружение гравитационных волн было объявлено 11 февраля 2016 года. Гравитационные волны — это возмущения кривизны пространства-времени, предсказанные общей теорией относительности Эйнштейна.