Введение

Концепция теории множеств
В теории множеств и смежных областях математики вселенная фон Неймана, или иерархия множеств фон Неймана, обозначаемая V, представляет собой класс наследственно хорошо упорядоченных множеств. Эта совокупность, формализованная теорией множеств Цермело — Френкеля (ZFC), часто используется для интерпретации или обоснования аксиом ZFC. Концепция названа в честь Джона фон Неймана, хотя впервые была опубликована Эрнстом Цермело в 1930 году. Ранг хорошо упорядоченного множества определяется индуктивно как наименьшее порядковое число, превышающее ранги всех элементов этого множества. В частности, ранг пустого множества равен нулю, и каждое порядковое число имеет ранг, равный самому себе. Множества во вселенной V разделяются на трансфинитную иерархию Vα, называемую кумулятивной иерархией, в зависимости от их ранга.

Конечные и низкокардинальные ступени иерархии

Первые пять стадий фон Неймана V0 - V4 можно визуализировать следующим образом. (Пустая коробка представляет пустое множество. Коробка, содержащая только пустую коробку, представляет множество, содержащее только пустое множество, и так далее.) Эта последовательность демонстрирует тетрационный рост. Множество V5 содержит 2¹⁶ = 65536 элементов; множество V6 содержит 2⁶⁵⁵³⁶ элементов, что значительно превышает количество атомов в известной вселенной; и для любого натурального n, множество Vn+1 содержит 2↑n элементов, используя нотацию Кнута со стрелкой вверх. Таким образом, конечные стадии кумулятивной иерархии нельзя записать явно после стадии 5. Множество Vω имеет ту же мощность, что и ω. Множество Vω+1 имеет ту же мощность, что и множество действительных чисел.

Применение V в качестве модели теории множеств

Если ω – множество натуральных чисел, то Vω – множество наследственно конечных множеств, являющееся моделью теории множеств без аксиомы бесконечности. Vω+ω – это вселенная «обычной математики» и модель теории множеств Зермело (но не модель ZF). Простое обоснование достаточности Vω+ω заключается в том, что Vω+1 достаточно для целых чисел, а Vω+2 – для действительных чисел, и большинство других стандартных математических областей можно построить как отношения различных типов, исходя из этих множеств, без необходимости использования аксиомы замены для выхода за пределы Vω+ω. Если κ – недоступный кардинал, то Vκ является моделью теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC), а Vκ+1 – моделью теории множеств Морса–Келли. (Следует отметить, что любая модель ZFC также является моделью ZF, и любая модель ZF также является моделью Z.)

Интерпретация V как "множества всех множеств"

V не является "множеством всех (наивных) множеств" по двум причинам. Во-первых, это не множество; хотя каждая отдельная стадия Vα является множеством, их объединение V является собственным классом. Во-вторых, множества в V – это только вполне обоснованные множества. Аксиома основания (или регулярности) требует, чтобы каждое множество было вполне обоснованным и, следовательно, принадлежало V, а значит, в ZFC каждое множество находится в V. Однако другие системы аксиом могут опускать аксиому основания или заменять её сильным отрицанием (например, аксиома анти-основания Акцеля). Эти теории множеств, не основанные на принципе вполне обоснованности, обычно не используются, но всё же могут быть предметом изучения. Третье возражение против интерпретации "множества всех множеств" заключается в том, что не все множества обязательно являются "чистыми множествами", которые строятся из пустого множества посредством операций по взятию булеана (множества мощностей) и объединений. Зермело предложил в 1908 году включение уэлементов, из которых он построил трансфинитную рекурсивную иерархию в 1930 году.

V и аксиома регулярности

Формула V = ⋃αVα часто рассматривается как теорема, а не определение.

Эксistential статус V

Поскольку класс V может считаться ареной для большей части математики, важно установить, что он "существует" в некотором смысле. Поскольку существование – сложное понятие, вопрос о существовании обычно заменяется вопросом о непротиворечивости, то есть свободен ли этот концепт от противоречий. Серьёзным препятствием являются теоремы о неполноте Гёделя, которые фактически подразумевают невозможность доказательства непротиворечивости теории множеств ZF в самой теории множеств ZF, при условии, что она действительно непротиворечива. Целостность вселенной фон Неймана фундаментально зависит от целостности порядковых чисел, которые выступают в качестве параметра ранга в построении, и целостности трансфинитной индукции, посредством которой построены как порядковые числа, так и вселенная фон Неймана. Можно сказать, что целостность построения порядковых чисел зиждется на работах фон Неймана 1923 и 1928 годов. Можно сказать, что целостность построения V с помощью трансфинитной индукции была установлена в статье Зермело 1930 года. Первая публикация вселенной фон Неймана была осуществлена Эрнстом Зермело в 1930 году. Существование и единственность общего трансфинитного рекурсивного определения множеств было продемонстрировано в 1928 году фон Нейманом как для теории множеств Цермело — Френкеля, так и для собственной теории множеств фон Неймана (которая впоследствии развилась в теорию множеств NBG). Ни в одной из этих работ он не применял свой трансфинитный рекурсивный метод для построения вселенной всех множеств. Представления вселенной фон Неймана Бернайсом и Мендельсоном приписывают фон Нейману заслугу в создании метода трансфинитной индукции, однако не за его применение к построению вселенной обычных множеств. Обозначение V – не дань уважения имени фон Неймана. Оно было использовано для обозначения вселенной множеств в 1889 году Пиано, где буква V обозначала "Verum", которую он использовал как логический символ и для обозначения класса всех индивидуумов. Обозначение V Пиано было также принято Уайтхедом и Расселом для обозначения класса всех множеств в 1910 году. Фон Нейман не использовал обозначение V (для класса всех множеств) в своих работах 1920-х годов, посвященных порядковым числам и трансфинитной индукции. Пол Коэн явно приписывает использование буквы V (для класса всех множеств) статье Гёделя 1940 года, хотя Гёдель, скорее всего, заимствовал это обозначение из более ранних источников, таких как Уайтхед и Рассел.

Философские взгляды

Существует два подхода к пониманию связи вселенной фон Неймана V с ZFC (наряду со множеством вариаций каждого подхода и промежуточными позициями между ними). В общих чертах, формалисты склонны рассматривать V как нечто, следующее из аксиом ZFC (например, ZFC доказывает, что каждое множество принадлежит V). С другой стороны, реалисты скорее рассматривают иерархию фон Неймана как нечто непосредственно постигаемое интуицией, а аксиомы ZFC – как утверждения, истинность которых во вселенной V можно обосновать прямыми интуитивными аргументами на естественном языке. Возможная промежуточная позиция состоит в том, что интуитивная картина иерархии фон Неймана служит мотивацией для аксиом ZFC (делая их не произвольными), но не обязательно описывает объекты, обладающие реальным существованием.