Кіріспе
Функция түрі
Математикада ортогональды функциялар билинеарлық формамен жабдықталған векторлық кеңістік болатын функциялық кеңістікке жатады. Функциялық кеңістікте домен ретінде интервал болған жағдайда, билинеарлық форма интервал бойынша функциялардың көбейтіндісінің интегралы болуы мүмкін:
In mathematics, orthogonal functions belong to a function space that is a vector space equipped with a bilinear form. When the function space has an interval as the domain, the bilinear form may be the integral of the product of functions over the interval:
Функциялар және бұл интеграл нөлге тең болғанда ортогоналды болады, яғни кез келген . Шектелген өлшемді кеңістіктегі векторлардың негізі сияқты, ортогональды функциялар функциялық кеңістік үшін шексіз негізді құрауы мүмкін. Тұжырымдамалық тұрғыдан алғанда, жоғарыдағы интеграл вектордың скалярлық көбейтіндісімен тең; егер олардың скалярлық көбейтіндісі нөл болса, екі вектор өзара тәуелсіз (ортогоналды) болады. Егер функциялардың ортогональды тізбегі нөлден өзгеше L2 нормасына ие болса, онда тізбек L2 нормасы біреуіне тең функциялардың ортогональды тізбегін құрайды. L2 нормасын анықтау үшін интеграл шектеулі болуы керек, бұл функцияларды квадраттық интегралдануға шектейді.
Тригонометриялық функциялар
Бірнеше ортогональды функциялар жиынтығы функцияларды жуықтау үшін стандартты негіздерге айналды. Мысалы, sin nx және sin mx функциялары, егер n және m оң бүтін сандар болса, [0, π] интервалында ортогональды болады. Онда
және екі синус функциясының көбейтіндісінің интегралы нөлге тең болады. Косинус функцияларымен бірге, бұл ортогональды функцияларды берілген функцияны интервалда оның Фурье қатары арқылы жуықтау үшін тригонометриялық полиномға біріктіруге болады.
Бинарлық мәнді функциялар
Уолш функциялары және Haar толқындары дискретті мәндер жиынына ие ортогональды функциялардың мысалдары болып табылады.
Рационалдық функциялар
Лежандр және Чебышев полиномдары [-1, 1] аралығы үшін ортогональдық отбасыларды қамтамасыз етеді, ал кейде [0, ∞) аралығында ортогональдық отбасылар қажет болады. Мұндай жағдайда аргументті [-1, 1] аралығына келтіру үшін алдымен Кейли түрлендіруін қолдану ыңғайлы. Бұл процедураның нәтижесінде Лежандр рационалдық функциялары және Чебышев рационалдық функциялары деп аталатын рационалдық ортогональдық функциялар отбасылары пайда болады.
Дифференциалдық теңдеулерде
Шекаралық шарттары бар сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімдері көбінесе ортогональды шешім функцияларының (яғни, өзіндік функциялар) салмақты қосындысы түрінде жазылуы мүмкін, бұл жалпыланған Фурье қатарларына алып келеді.