Введение

Тип функции
В математике ортогональные функции принадлежат функциональному пространству, которое является векторным пространством, оснащенным билинейной формой. Если область определения функционального пространства является интервалом, то билинейная форма может быть интегралом произведения функций по этому интервалу:

Функции и являются ортогональными, когда этот интеграл равен нулю, то есть при любых . Подобно базису векторов в конечномерном пространстве, ортогональные функции могут образовывать бесконечный базис для функционального пространства. Концептуально, указанный выше интеграл эквивалентен скалярному произведению векторов; два вектора взаимно независимы (ортогональны), если их скалярное произведение равно нулю. Пусть – последовательность ортогональных функций с ненулевыми L2-нормами. Тогда последовательность состоит из функций с L2-нормой, равной единице, образующих ортонормированную последовательность. Для того чтобы L2-норма была определена, интеграл должен быть ограничен, что накладывает ограничение на функции – они должны быть квадратично интегрируемыми.

Тригонометрические функции

Несколько наборов ортогональных функций стали стандартными базисами для приближения функций. Например, функции синуса sin nx и sin mx ортогональны на интервале, когда n и m – положительные целые числа. В этом случае

и интеграл произведения этих двух функций синуса равен нулю. Вместе с функциями косинуса эти ортогональные функции можно объединить в тригонометрический многочлен для приближения заданной функции на интервале с помощью ее ряда Фурье.

Двойные функции

Функции Уолша и вейвлеты Хаара — примеры ортогональных функций с дискретными областями значений.

Рациональные функции

Полиномы Лежандра и Чебышева предоставляют ортогональные семейства для интервала [−1, 1], в то время как иногда требуются ортогональные семейства на [0, ∞). В этом случае удобно сначала применить преобразование Кейли, чтобы привести аргумент к интервалу [−1, 1]. Эта процедура приводит к семействам рациональных ортогональных функций, называемых рациональными функциями Лежандра и рациональными функциями Чебышева.

В дифференциальных уравнениях

Решения линейных дифференциальных уравнений с граничными условиями часто могут быть представлены в виде взвешенной суммы ортогональных функций решений (также известных как собственные функции), что приводит к обобщённому ряду Фурье.