Кіріспе
Қысқа дәл тізбекті сақтайтын функтор. Математикада, әсіресе гомологиялық алгебрада, дәл функтор – қысқа дәл тізбекті сақтайтын функтор. Дәл функторлар алгебралық есептеулер үшін ыңғайлы, себебі оларды нысандардың берілулеріне тікелей қолдануға болады. Гомологиялық алгебрадағы көптеген жұмыстар дәл емес функторлармен жұмыс істеуге арналған, бірақ оларды бақыланатын жолмен шешуге мүмкіндік береді.
In mathematics, particularly homological algebra, an exact functor is a functor that preserves short exact sequences. Exact functors are convenient for algebraic calculations because they can be directly applied to presentations of objects. Much of the work in homological algebra is designed to cope with functors that fail to be exact, but in ways that can still be controlled.
Қасиеттері мен теоремалары
Функтор дәл сол жақтан да, оң жақтан да дәл болса ғана дәл болады. Ковариантты (қажетті түрде аддитивті емес) функтор шекті шектерді шектерге айналдырса ғана сол жақтан дәл болады; ковариантты функтор шекті кошектерді кошектерге айналдырса ғана оң жақтан дәл болады; контравариантты функтор шекті кошектерді шектерге айналдырса ғана сол жақтан дәл болады; контравариантты функтор шекті шектерді кошектерге айналдырса ғана оң жақтан дәл болады. Сол жақтан дәл функтордың дәл болмау дәрежесі оның оң жақтан туынды функторларымен өлшеніп, оң жақтан дәл функтордың дәл болмау дәрежесі оның сол жақтан туынды функторларымен өлшеніп бағаланады. Сол және оң жақтан дәл функторлар көбінесе келесі фактіге байланысты кеңінен қолданылады: егер F функторы G функторына солдан жанасқан болса, онда F оң жақтан дәл, ал G сол жақтан дәл болады.
Жалпылау
SGA4, I том, 1-бөлімде сол (оң) нақты функторлар ұғымы кез келген категориялар үшін анықталады, тек абельдік категориялар үшін ғана емес. Анықтамасы мынадай: C категориясы шекті проективті (сәйкесінше, инъективті) шектеулерге ие болсын. Онда C-ден C′ категориясына функтор, егер ол шекті проективті (сәйкесінше, индуктивті) шектеулермен үйлесетін болса, сол (сәйкесінше, оң) нақты болады. Абстракциялы болғанына қарамастан, бұл жалпы анықтаманың пайдалы салдары бар. Мысалы, 1.8-бөлімде Гротендик, егер С категориясындағы белгілі бір шарттар орындалса, функтор сол жақтан нақты болған жағдайда ғана про-өкілдік ететінін дәлелдейді. Квиленнің нақты категориялары арасындағы нақты функторлар, мұнда талқыланған абельдік категориялар арасындағы нақты функторларды жалпылайды. Регулярлы категориялар арасындағы реттеуші функторлар кейде нақты функторлар деп аталады және мұнда талқыланған нақты функторларды жалпылайды.
Let C be a category with finite projective (resp. injective) limits. Then a functor from C to another category C′ is left (resp. right) exact if it commutes with finite projective (resp. inductive) limits. Despite its abstraction, this general definition has useful consequences. For example, in section 1.8, Grothendieck proves that a functor is pro representable if and only if it is left exact, under some mild conditions on the category C.
The exact functors between Quillen's exact categories generalize the exact functors between abelian categories discussed here. The regular functors between regular categories are sometimes called exact functors and generalize the exact functors discussed here.