Введение

Функтор, сохраняющий короткие точные последовательности

В математике, в частности в гомологической алгебре, точный функтор — это функтор, сохраняющий короткие точные последовательности. Точные функторы удобны для алгебраических вычислений, поскольку их можно непосредственно применять к представлениям объектов. Значительная часть работы в гомологической алгебре направлена на работу с функторами, которые не являются точными, но при этом остаются контролируемыми.

Свойства и теоремы

Функтор точен тогда и только тогда, когда он точен слева и справа. Ковариантный (не обязательно аддитивный) функтор точен слева тогда и только тогда, когда он переводит конечные пределы в пределы; ковариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он переводит конечные колимиты в колимиты; контравариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он переводит конечные колимиты в пределы; контравариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он переводит конечные пределы в колимиты. Степень неточности левого точного функтора может быть измерена его правыми производными функторами; степень неточности правого точного функтора может быть измерена его левыми производными функторами. Левые и правые точные функторы широко распространены главным образом благодаря следующему факту: если функтор F левоприсоединен к G, то F правоточен, а G левосточен.

Обобщения

В SGA4, том I, раздел 1, понятие левых (правых) точных функторов определено для общих категорий, а не только для абелевых. Определение следующее: пусть C – категория с конечными проективными (соответственно, инъективными) пределами. Тогда функтор из C в другую категорию C′ является левым (соответственно, правым) точным, если он коммутирует с конечными проективными (соответственно, индуктивными) пределами. Несмотря на абстрактность, это общее определение имеет полезные следствия. Например, в разделе 1.8 Гротендик доказывает, что функтор является пропредставимым тогда и только тогда, когда он лев точен, при некоторых мягких условиях на категорию C.

Точные функторы между точными категориями Квиллена обобщают точные функторы между абелевыми категориями, рассматриваемыми здесь. Регулярные функторы между регулярными категориями иногда называют точными функторами и обобщают точные функторы, рассматриваемые здесь.