Введение

В математике, в частности в функциональном анализе, бикоммутантная теорема фон Неймана связывает замыкание множества ограниченных операторов на гильбертовом пространстве в определенных топологиях с бикоммутантом этого множества. По сути, это связь между алгебраическими и топологическими аспектами теории операторов. Формулировка теоремы следующая:

Теорема о бикоммутантах фон Неймана. Пусть 'M' – алгебра, состоящая из ограниченных операторов на гильбертовом пространстве H, содержащая единичный оператор и замкнутая относительно взятия сопряженных операторов. Тогда замыкания 'M' в слабой операторной топологии и сильной операторной топологии равны, и, в свою очередь, равны бикоммутанту 'M''′ алгебры 'M'. Эта алгебра называется алгеброй фон Неймана, порожденной 'M'. Существует несколько других топологий на пространстве ограниченных операторов, и можно задаться вопросом, какие *алгебры замкнуты в этих топологиях. Если 'M' замкнута в норменной топологии, то это C*-алгебра, но не обязательно алгебра фон Неймана. Одним из таких примеров является C*-алгебра компактных операторов (на бесконечномерном гильбертовом пространстве). Для большинства других распространенных топологий замкнутые *алгебры, содержащие единицу, являются алгебрами фон Неймана; это относится, в частности, к слабой операторной, сильной операторной, *сильной операторной, ультраслабой, ультрасильной и *ультрасильной топологиям. Она связана с теоремой о плотности Джейкобсона.

Доказательство i)

По определению топологии слабых операторов, для любых x и y из H отображение T → <Tx, y> непрерывно в этой топологии. Следовательно, для любого оператора O (и подставляя один раз y → O*y и один раз x → Ox), непрерывно и отображение. Пусть S – любое подмножество L(H), а S′ – его коммутант. Для любого оператора T, не принадлежащего S′, существует такой оператор O из S и такие x и y из H, что <OTx, y> ≠ <TOx, y>. В силу непрерывности вышеупомянутого отображения, существует открытое окрестность T в слабой операторной топологии, для которой это значение отлично от нуля, следовательно, эта открытая окрестность также не принадлежит S′. Таким образом, S′ замкнуто в слабой операторной топологии, то есть S′ слабо замкнуто. Следовательно, любой коммутант слабо замкнут, и то же справедливо для M′′; поскольку оно содержит M, оно также содержит его слабое замыкание.

Доказательство ii)

Это следует непосредственно из того, что слабая операторная топология грубее сильной операторной топологии: для каждой точки x в clS('M'), каждое открытое окрестность x в слабой операторной топологии также открыта в сильной операторной топологии и, следовательно, содержит элемент из 'M'; таким образом, x также является элементом clW('M').

Неоднородный случай

C*-алгебра M, действующая на H, называется действующей невырожденно, если для любого h из H, выполняется . В этом случае, используя приближенную единицу в M, можно показать, что тождественный оператор I принадлежит сильному замыканию M. Следовательно, заключение теоремы о бикоммутантах справедливо для M.