Введение
Класс математических множеств
В математике множество Бореля — это любое множество в топологическом пространстве, которое может быть образовано из открытых множеств (или, эквивалентно, из замкнутых множеств) посредством операций счётного объединения, счётного пересечения и относительного дополнения. Множества Бореля названы в честь Эмиля Бореля. Для топологического пространства X, совокупность всех множеств Бореля на X образует σ-алгебру, известную как σ-алгебра Бореля или алгебра Бореля. σ-алгебра Бореля на X является наименьшей σ-алгеброй, содержащей все открытые множества (или, эквивалентно, все замкнутые множества). Множества Бореля важны в теории меры, поскольку любая мера, определённая на открытых множествах пространства или на замкнутых множествах пространства, должна быть также определена на всех множествах Бореля этого пространства. Любая мера, определённая на множествах Бореля, называется мерой Бореля. Множества Бореля и связанная с ними борелевская иерархия также играют фундаментальную роль в описательной теории множеств. В некоторых контекстах множества Бореля определяются как порождённые компактными множествами топологического пространства, а не открытыми множествами. Эти два определения эквивалентны для многих хорошо себя ведущих пространств, включая все хаусдорфовы σ-компактные пространства, но могут различаться в более патологических пространствах.
In mathematics, a Borel set is any set in a topological space that can be formed from open sets (or, equivalently, from closed sets) through the operations of countable union, countable intersection, and relative complement. Borel sets are named after Émile Borel. For a topological space X, the collection of all Borel sets on X forms a σ algebra, known as the Borel algebra or Borel σ algebra. The Borel algebra on X is the smallest σ algebra containing all open sets (or, equivalently, all closed sets). Borel sets are important in measure theory, since any measure defined on the open sets of a space, or on the closed sets of a space, must also be defined on all Borel sets of that space. Any measure defined on the Borel sets is called a Borel measure. Borel sets and the associated Borel hierarchy also play a fundamental role in descriptive set theory. In some contexts, Borel sets are defined to be generated by the compact sets of the topological space, rather than the open sets. The two definitions are equivalent for many well behaved spaces, including all Hausdorff σ compact spaces, but can be different in more pathological spaces.
Пример
Важным примером, особенно в теории вероятностей, является сигма-алгебра Бореля на множестве действительных чисел. Это сигма-алгебра, на которой определена мера Бореля. Для любой вещественной случайной величины, определенной на вероятностном пространстве, её распределение вероятностей по определению также является мерой на сигма-алгебре Бореля. Сигма-алгебра Бореля на действительных числах – это наименьшая сигма-алгебра на R, содержащая все интервалы. При построении трансфинитной индукцией можно показать, что на каждом шаге количество множеств не превышает кардинальность континуума. Следовательно, общее количество множеств Бореля меньше или равно.
Фактически, кардинальность семейства множеств Бореля равна кардинальности континуума (в отличие от количества множеств, измеримых по Лебегу, которое строго больше и равно ).
Альтернативные не эквивалентные определения
Согласно Полу Халмосу, подмножество локально компактного хаусдорфова топологического пространства называется множеством Бореля, если оно принадлежит наименьшему σ-кольцу, содержащему все компактные множества. Норберг и Верваат переопределяют борелевскую алгебру топологического пространства как алгебру, порожденную его открытыми подмножествами и его компактными насыщенными подмножествами. Это определение хорошо подходит для приложений в случае, когда пространство не является хаусдорфовым. Оно совпадает с обычным определением, если пространство счетно второе или если каждое компактное насыщенное подмножество замкнуто (что, в частности, верно, если пространство является хаусдорфовым).