Топологиялық топтарда дискреттілік және оның түрлері
Discrete group
Дискреттік топтар математикадағы маңызды ұғым. Топтың дискреттілігі, шектес нүктелердің болмауымен және оқшауланған бірлік элементімен анықталады. Мысалдар келтірілген.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада, топологиялық топ G дискретті топ деп аталады, егер оның ішінде шектік нүкте болмаса (яғни, G-дегі әрбір элемент үшін тек сол элементті ғана қамтитын маңай бар). Балама түрінде, G тобы дискретті болады, егер және тек қана оның бірлік элементі оқшауланған болса. Топологиялық топтың H кіші тобы, егер H G-ден алынған субкеңістік топологиясымен жабдықталғанда дискретті болса, дискретті кіші топ болып табылады. Басқаша айтқанда, G-де бірлік элементтің басқа элементтері жоқ маңы бар. Мысалы, бүтін сандар, Z, нақты сандардың R (стандартты метрикалық топологиясымен) дискретті кіші тобын құрайды, бірақ рационал сандар, Q, құрамайды. Кез келген топты дискретті топологиямен жабдықтауға болады, осылайша оны дискретті топологиялық топқа айналдыруға болады. Дискретті кеңістіктен кез келген функция үздіксіз болғандықтан, дискретті топтар арасындағы топологиялық гомоморфизмдер негізгі топтар арасындағы топ гомоморфизмдерімен сәйкес келеді. Сондықтан, топтар санаты мен дискретті топтар санаты арасында изоморфизм бар. Осылайша, дискретті топтарды олардың негізгі (топологиялық емес) топтарымен анықтауға болады. Топологиялық топқа немесе Ли тобына «табиғатқа қарсы» дискретті топологиямен жабдықтаудың пайдалы жағдайлары бар. Мысалы, Бор жиынтықталуы теориясында және Ли топтарының топтық когомология теориясында мұндай жағдайлар кездеседі. Дискретті изометрия тобы — бұл метрикалық кеңістіктің әрбір нүктесі үшін нүктенің изометриялар бойынша бейнелерінің жиыны дискретті жиынтық болатын изометрия тобы. Дискретті симметрия тобы — бұл дискретті изометрия тобы болып табылатын симметрия тобы.
In mathematics, a topological group G is called a discrete group if there is no limit point in it (i. e., for each element in G, there is a neighborhood which only contains that element). Equivalently, the group G is discrete if and only if its identity is isolated. A subgroup H of a topological group G is a discrete subgroup if H is discrete when endowed with the subspace topology from G. In other words there is a neighbourhood of the identity in G containing no other element of H. For example, the integers, Z, form a discrete subgroup of the reals, R (with the standard metric topology), but the rational numbers, Q, do not. Any group can be endowed with the discrete topology, making it a discrete topological group. Since every map from a discrete space is continuous, the topological homomorphisms between discrete groups are exactly the group homomorphisms between the underlying groups. Hence, there is an isomorphism between the category of groups and the category of discrete groups. Discrete groups can therefore be identified with their underlying (non topological) groups. There are some occasions when a topological group or Lie group is usefully endowed with the discrete topology, 'against nature'. This happens for example in the theory of the Bohr compactification, and in group cohomology theory of Lie groups. A discrete isometry group is an isometry group such that for every point of the metric space the set of images of the point under the isometries is a discrete set. A discrete symmetry group is a symmetry group that is a discrete isometry group.
Мысалдар
Фриздік топтар мен обойлық топтар — Евклид жазықтығының изометриялық тобының дискретті кіші топтары. Обойлық топтар кокомпакт, бірақ фриздік топтар емес. Кристаллографиялық топ әдетте белгілі бір Евклид кеңістігінің изометрияларының кокомпактты, дискретті кіші топтарын білдіреді. Кейде кристаллографиялық топ нильпотентті немесе шешілетін Ли тобының кокомпактты дискретті кіші тобы болуы мүмкін. Кез келген үшбұрышты топ T сфераның изометрия тобының дискретті кіші тобы (T шекті болғанда), Евклид жазықтығы (T шекті индекстің Z + Z кіші тобы болғанда) немесе гиперболалық жазықтық болып табылады. Фуксиандық топтар — гиперболалық жазықтықтың изометриялық тобының дискретті кіші топтары. Гиперболалық жазықтықтың жоғарғы жарты жазықтық моделінде бағытты сақтап, әрекет ететін Фуксиан тобы, Ли тобы PSL(2,R) — гиперболалық жазықтықтың жоғарғы жарты жазықтық моделінің бағытты сақтайтын изометрияларының тобының дискретті кіші тобы болып табылады. Фуксиан тобы кейде гиперболалық жазықтықты изометриялық түрде үш өлшемді гиперболалық кеңістікке енгізу және жазықтықтағы топтың әрекетін бүкіл кеңістікке тарату арқылы Клейн тобының ерекше жағдайы ретінде қарастырылады. Модульдік топ PSL(2,Z) PSL(2,R) дискретті кіші тобы ретінде қарастырылады. Модульдік топ PSL(2,R) -де тор болып табылады, бірақ ол кокомпакт емес. Клейн топтары — гиперболалық 3 кеңістіктің изометриялық тобының дискретті кіші топтары. Оларға квази-Фуксиандық топтар да жатады. Гиперболалық 3 кеңістіктің жоғарғы жарты кеңістік моделінде бағытты сақтап, әрекет ететін Клейн тобы, Ли тобы PSL(2,C) — гиперболалық 3 кеңістіктің жоғарғы жарты кеңістік моделінің бағытты сақтайтын изометрияларының тобының дискретті кіші тобы болып табылады. Ли тобындағы тор — бөлшек кеңістіктің Хаар өлшемі шекті болатын дискретті кіші топ.
Frieze groups and wallpaper groups are discrete subgroups of the isometry group of the Euclidean plane. Wallpaper groups are cocompact, but Frieze groups are not. A crystallographic group usually means a cocompact, discrete subgroup of the isometries of some Euclidean space. Sometimes, however, a crystallographic group can be a cocompact discrete subgroup of a nilpotent or solvable Lie group. Every triangle group T is a discrete subgroup of the isometry group of the sphere (when T is finite), the Euclidean plane (when T has a Z + Z subgroup of finite index), or the hyperbolic plane. Fuchsian groups are, by definition, discrete subgroups of the isometry group of the hyperbolic plane. A Fuchsian group that preserves orientation and acts on the upper half plane model of the hyperbolic plane is a discrete subgroup of the Lie group PSL(2,R), the group of orientation preserving isometries of the upper half plane model of the hyperbolic plane. A Fuchsian group is sometimes considered as a special case of a Kleinian group, by embedding the hyperbolic plane isometrically into three dimensional hyperbolic space and extending the group action on the plane to the whole space. The modular group PSL(2,Z) is thought of as a discrete subgroup of PSL(2,R). The modular group is a lattice in PSL(2,R), but it is not cocompact. Kleinian groups are, by definition, discrete subgroups of the isometry group of hyperbolic 3 space. These include quasi Fuchsian groups. A Kleinian group that preserves orientation and acts on the upper half space model of hyperbolic 3 space is a discrete subgroup of the Lie group PSL(2,C), the group of orientation preserving isometries of the upper half space model of hyperbolic 3 space. A lattice in a Lie group is a discrete subgroup such that the Haar measure of the quotient space is finite.