Введение

В математике топологическая группа G называется дискретной группой, если в ней нет предельных точек (то есть для каждого элемента в G существует окрестность, содержащая только этот элемент). Эквивалентно, группа G дискретна тогда и только тогда, когда её нейтральный элемент изолирован. Подгруппа H топологической группы G является дискретной подгруппой, если H дискретна при наделении подпространственной топологией, индуцированной из G. Иными словами, существует окрестность нейтрального элемента в G, не содержащая других элементов H. Например, целые числа Z образуют дискретную подгруппу действительных чисел R (с обычной метрической топологией), но рациональные числа Q не образуют. Любую группу можно снабдить дискретной топологией, что делает её дискретной топологической группой. Поскольку любое отображение из дискретного пространства непрерывно, топологические гомоморфизмы между дискретными группами совпадают с гомоморфизмами групп между лежащими в основе группами. Следовательно, существует изоморфизм между категорией групп и категорией дискретных групп. Таким образом, дискретные группы можно отождествлять с их лежащими в основе (нетопологическими) группами. Иногда бывает полезно снабдить топологическую группу или группу Ли дискретной топологией, что может показаться неестественным. Это происходит, например, в теории компактификации Бора и в теории групповой когомологии групп Ли. Дискретная группа изометрий — это группа изометрий, для которой множество образов каждой точки метрического пространства под действием изометрий является дискретным множеством. Дискретная группа симметрий — это группа симметрий, являющаяся дискретной группой изометрий.

Примеры

Группы фризов и группы обоев являются дискретными подгруппами изометрической группы евклидовой плоскости. Группы обоев кокомпактны, но группы фризов – нет. Кристаллографическая группа обычно понимается как кокомпактная дискретная подгруппа изометрий некоторого евклидова пространства. Однако, иногда кристаллографическая группа может быть кокомпактной дискретной подгруппой нильпотентной или разрешимой группы Ли. Каждая треугольная группа T является дискретной подгруппой группы изометрий сферы (если T конечна), евклидовой плоскости (если T имеет подгруппу Z + Z конечного индекса) или гиперболической плоскости. Группы Фукса по определению являются дискретными подгруппами изометрической группы гиперболической плоскости. Группа Фукса, сохраняющая ориентацию и действующая на модель верхней полуплоскости гиперболической плоскости, является дискретной подгруппой группы Ли PSL(2,R), группы ориентацию-сохраняющих изометрий модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости. Группа Фукса иногда рассматривается как частный случай группы Клейна, посредством изометрического вложения гиперболической плоскости в трехмерное гиперболическое пространство и расширения группового действия с плоскости на всё пространство. Модульная группа PSL(2,Z) рассматривается как дискретная подгруппа PSL(2,R). Модульная группа является решеткой в PSL(2,R), но не является кокомпактной. Клейнианские группы по определению являются дискретными подгруппами изометрической группы гиперболического пространства размерности 3. К ним относятся квазифуксианские группы. Клейнианская группа, сохраняющая ориентацию и действующая на модель верхней полупространства гиперболического пространства размерности 3, является дискретной подгруппой группы Ли PSL(2,C), группы ориентацию-сохраняющих изометрий модели верхней полупространства гиперболического пространства размерности 3. Решетка в группе Ли – это дискретная подгруппа, для которой мера Хаара фактор-пространства конечна.