Кіріспе
Теориялық физикада қолданылатын алгебралық құрылым. Математика мен теориялық физикада супералгебра – Z2 дәрежелі алгебра болып табылады. Яғни, бұл коммутативті сақина немесе өріс үстіндегі алгебра, ол "жұп" және "тақ" бөліктерге жіктеледі және дәрежелеуді сақтайтын көбейту операторына ие. "Супер" префиксі теориялық физикадағы суперсимметрия теориясынан алынған. Супералгебралар мен олардың өкілдіктері – супермодульдер, суперсимметрияны формулирлеу үшін алгебралық база құрайды. Мұндай объектілерді зерттеу кейде суперсызықтық алгебра деп аталады. Супералгебралар супергеометрияның осымен байланысты саласында да маңызды рөл атқарады, онда олар дәрежеленген көптүрліліктердің, суперкөптүрліліктердің және суперсхемалардың анықтамаларына кіреді.
In mathematics and theoretical physics, a superalgebra is a Z2 graded algebra. That is, it is an algebra over a commutative ring or field with a decomposition into "even" and "odd" pieces and a multiplication operator that respects the grading. The prefix super comes from the theory of supersymmetry in theoretical physics. Superalgebras and their representations, supermodules, provide an algebraic framework for formulating supersymmetry. The study of such objects is sometimes called super linear algebra. Superalgebras also play an important role in related field of supergeometry where they enter into the definitions of graded manifolds, supermanifolds and superschemes.
Мысалдар
Кез келген коммутативті K сақинасы бойынша алгебраны K бойынша таза жұп супералгебра ретінде қарастыруға болады; яғни, A1 тривиалды деп есептеу арқылы. Кез келген Z немесе N дәрежелі алгебраны 2-ге дейін қысқарту арқылы супералгебра ретінде қарастыруға болады. Бұған тензорлық алгебралар және K-ге полиномиялық сақиналар сияқты мысалдар кіреді.
In particular, any exterior algebra over K is a superalgebra. The exterior algebra is the standard example of a supercommutative algebra. The symmetric polynomials and alternating polynomials together form a superalgebra, being the even and odd parts, respectively. Note that this is a different grading from the grading by degree. Clifford algebras are superalgebras. They are generally noncommutative. The set of all endomorphisms (denoted , where the boldface is referred to as internal , composed of all linear maps) of a super vector space forms a superalgebra under composition. The set of all square supermatrices with entries in K forms a superalgebra denoted by Mp|q(K). This algebra may be identified with the algebra of endomorphisms of a free supermodule over K of rank p|q and is the internal Hom of above for this space. Lie superalgebras are a graded analog of Lie algebras. Lie superalgebras are nonunital and nonassociative; however, one may construct the analog of a universal enveloping algebra of a Lie superalgebra which is a unital, associative superalgebra.
Атап айтқанда, K бойынша кез келген сыртқы алгебра супералгебра болып табылады. Сыртқы алгебра – суперкоммутативтік алгебраның стандартты мысалы. Симметриялық және антисимметриялық полиномдар бірге супералгебраны құрайды, олар тиісінше жұп және тақ бөліктері болып табылады. Бұл дәреже бойынша жіктеуден өзгеше жіктеу. Клиффорд алгебралары супералгебралар болып табылады. Олар көбінесе коммутативті емес. Супер векторлық кеңістіктің барлық эндоморфизмдер жиыны (ішкі эндоморфизмдер деп белгіленеді, барлық сызықтық түрлендірулерден тұрады) композиция бойынша супералгебраны құрайды. K элементтерінен құралған барлық квадраттық суперматрицалар жиыны Mp|q(K) деп белгіленетін супералгебраны құрайды. Бұл алгебра p|q рангіндегі K үстіндегі еркін супермодульдің эндоморфизмдер алгебрасымен сәйкес келеді және осы кеңістік үшін жоғарыда аталған ішкі Hom болып табылады. Ли супералгебралары – Ли алгебраларының дәрежеленген аналогтары. Ли супералгебралары унитарлық емес және ассоциативті емес; алайда, Ли супералгебрасының әмбебап орауыш алгебрасының аналогын құруға болады, ол унитарлық және ассоциативті супералгебра болып табылады.
In particular, any exterior algebra over K is a superalgebra. The exterior algebra is the standard example of a supercommutative algebra. The symmetric polynomials and alternating polynomials together form a superalgebra, being the even and odd parts, respectively. Note that this is a different grading from the grading by degree. Clifford algebras are superalgebras. They are generally noncommutative. The set of all endomorphisms (denoted , where the boldface is referred to as internal , composed of all linear maps) of a super vector space forms a superalgebra under composition. The set of all square supermatrices with entries in K forms a superalgebra denoted by Mp|q(K). This algebra may be identified with the algebra of endomorphisms of a free supermodule over K of rank p|q and is the internal Hom of above for this space. Lie superalgebras are a graded analog of Lie algebras. Lie superalgebras are nonunital and nonassociative; however, one may construct the analog of a universal enveloping algebra of a Lie superalgebra which is a unital, associative superalgebra.
Жалпылау және категорияландыру
Супергебраның анықтамасын коммутативті суперсақинадағы супергебраларды қамту үшін оңай жалпылауға болады. Жоғарыда келтірілген анықтама негізгі сақина толыққанды жұп болған жағдайдағы ерекше жағдай болып табылады. R коммутативті суперсақина болсын. R үстіндегі супергебра – бұл R супермодулі A, R-билінеарлық көбейтумен A × A → A, бұл сыныптаманы сақтайды. Мұндағы билінеарлық дегеніміз, барлық гомогенді элементтер үшін r ∈ R және x, y ∈ A:
for all homogeneous elements r ∈ R and x, y ∈ A.
Equivalently, one may define a superalgebra over R as a superring A together with an superring homomorphism R → A whose image lies in the supercenter of A. One may also define superalgebras categorically. The category of all R supermodules forms a monoidal category under the super tensor product with R serving as the unit object. An associative, unital superalgebra over R can then be defined as a monoid in the category of R supermodules. That is, a superalgebra is an R supermodule A with two (even) morphisms
for which the usual diagrams commute.
Сонымен қатар, R үстіндегі супергебраны A суперсақинасы және R → A суперсақина гомоморфизмі арқылы анықтауға болады, оның бейнесі A-ның суперорталығында жатады. Супергебраларды категориялық тұрғыдан да анықтауға болады. Барлық R супермодульдерінің категориясы R супертензорлық көбейту бойынша моноидты категорияны құрайды, онда R бірлік объектісі болып табылады. R үстіндегі ассоциативті, униталды супергебраны R супермодульдерінің категориясындағы моноид ретінде анықтауға болады. Яғни, супергебра – бұл R супермодулі A, екі (жұп) морфизммен, олар үшін стандартты диаграммалар сәйкес келеді.
for all homogeneous elements r ∈ R and x, y ∈ A.
Equivalently, one may define a superalgebra over R as a superring A together with an superring homomorphism R → A whose image lies in the supercenter of A. One may also define superalgebras categorically. The category of all R supermodules forms a monoidal category under the super tensor product with R serving as the unit object. An associative, unital superalgebra over R can then be defined as a monoid in the category of R supermodules. That is, a superalgebra is an R supermodule A with two (even) morphisms
for which the usual diagrams commute.