Введение
Алгебраическая структура, используемая в теоретической физике. В математике и теоретической физике супералгебра — это алгебра с Z2-градуировкой. То есть, это алгебра над коммутативным кольцом или полем, имеющая разложение на "чётную" и "нечётную" части, и операцию умножения, сохраняющую градуировку. Приставка "супер" происходит из теории суперсимметрии в теоретической физике. Супералгебры и их представления, супермодули, предоставляют алгебраическую основу для формулирования суперсимметрии. Изучение таких объектов иногда называют суперлинейной алгеброй. Супералгебры также играют важную роль в смежной области супергеометрии, где они используются в определениях градуированных многообразий, супермногообразий и суперсхем.
In mathematics and theoretical physics, a superalgebra is a Z2 graded algebra. That is, it is an algebra over a commutative ring or field with a decomposition into "even" and "odd" pieces and a multiplication operator that respects the grading. The prefix super comes from the theory of supersymmetry in theoretical physics. Superalgebras and their representations, supermodules, provide an algebraic framework for formulating supersymmetry. The study of such objects is sometimes called super linear algebra. Superalgebras also play an important role in related field of supergeometry where they enter into the definitions of graded manifolds, supermanifolds and superschemes.
Примеры
Любая алгебра над коммутативным кольцом K может рассматриваться как чисто четная супералгебра над K, то есть полагая A1 тривиальной. Любую Z- или N-градуированную алгебру можно рассматривать как супералгебру, рассматривая градуировку по модулю 2. Это включает в себя примеры, такие как тензорные алгебры и алгебры многочленов над K.
In particular, any exterior algebra over K is a superalgebra. The exterior algebra is the standard example of a supercommutative algebra. The symmetric polynomials and alternating polynomials together form a superalgebra, being the even and odd parts, respectively. Note that this is a different grading from the grading by degree. Clifford algebras are superalgebras. They are generally noncommutative. The set of all endomorphisms (denoted , where the boldface is referred to as internal , composed of all linear maps) of a super vector space forms a superalgebra under composition. The set of all square supermatrices with entries in K forms a superalgebra denoted by Mp|q(K). This algebra may be identified with the algebra of endomorphisms of a free supermodule over K of rank p|q and is the internal Hom of above for this space. Lie superalgebras are a graded analog of Lie algebras. Lie superalgebras are nonunital and nonassociative; however, one may construct the analog of a universal enveloping algebra of a Lie superalgebra which is a unital, associative superalgebra.
В частности, любая внешняя алгебра над K является супералгеброй. Внешняя алгебра является стандартным примером суперкоммутативной алгебры. Симметричные и антисимметричные многочлены вместе образуют супералгебру, являясь, соответственно, четной и нечетной частями. Следует отметить, что это другая градуировка, чем градуировка по степени. Клиффордовы алгебры являются супералгебрами. Они, как правило, некоммутативны. Множество всех эндоморфизмов (обозначается , где полужирным шрифтом обозначен внутренний , состоящий из всех линейных отображений) супервекторного пространства образует супералгебру относительно композиции. Множество всех квадратных суперматриц с элементами из K образует супералгебру, обозначаемую Mp|q(K). Эта алгебра может быть отождествлена с алгеброй эндоморфизмов свободного супермодуля над K ранга p|q и является внутренним Hom для этого пространства. Супералгебры Ли являются градуированным аналогом алгебр Ли. Супералгебры Ли не являются унитальными и неассоциативными; однако можно построить аналог универсальной обволакивающей алгебры супералгебры Ли, которая является унитальной, ассоциативной супералгеброй.
In particular, any exterior algebra over K is a superalgebra. The exterior algebra is the standard example of a supercommutative algebra. The symmetric polynomials and alternating polynomials together form a superalgebra, being the even and odd parts, respectively. Note that this is a different grading from the grading by degree. Clifford algebras are superalgebras. They are generally noncommutative. The set of all endomorphisms (denoted , where the boldface is referred to as internal , composed of all linear maps) of a super vector space forms a superalgebra under composition. The set of all square supermatrices with entries in K forms a superalgebra denoted by Mp|q(K). This algebra may be identified with the algebra of endomorphisms of a free supermodule over K of rank p|q and is the internal Hom of above for this space. Lie superalgebras are a graded analog of Lie algebras. Lie superalgebras are nonunital and nonassociative; however, one may construct the analog of a universal enveloping algebra of a Lie superalgebra which is a unital, associative superalgebra.
Обобщения и категорическое определение
Можно легко обобщить определение супералгебры, включив супералгебры над коммутативным суперкольцом. Приведенное выше определение является частным случаем, когда базовое кольцо чисто четное. Пусть R – коммутативное суперкольцо. Супералгебра над R – это R-супермодуль A с R-билинейным умножением A × A → A, сохраняющим градуировку. Билинейность здесь означает, что
for all homogeneous elements r ∈ R and x, y ∈ A.
Equivalently, one may define a superalgebra over R as a superring A together with an superring homomorphism R → A whose image lies in the supercenter of A. One may also define superalgebras categorically. The category of all R supermodules forms a monoidal category under the super tensor product with R serving as the unit object. An associative, unital superalgebra over R can then be defined as a monoid in the category of R supermodules. That is, a superalgebra is an R supermodule A with two (even) morphisms
for which the usual diagrams commute.
для всех однородных элементов r ∈ R и x, y ∈ A.
for all homogeneous elements r ∈ R and x, y ∈ A.
Equivalently, one may define a superalgebra over R as a superring A together with an superring homomorphism R → A whose image lies in the supercenter of A. One may also define superalgebras categorically. The category of all R supermodules forms a monoidal category under the super tensor product with R serving as the unit object. An associative, unital superalgebra over R can then be defined as a monoid in the category of R supermodules. That is, a superalgebra is an R supermodule A with two (even) morphisms
for which the usual diagrams commute.
Эквивалентно, супералгебру над R можно определить как суперкольцо A вместе с суперкольцевым гомоморфизмом R → A, образ которого лежит в суперцентре A. Супералгебры можно также определить категориально. Категория всех R-супермодулей образует моноидальную категорию относительно супертензорного произведения, где R служит единичным объектом. Ассоциативная, унитарная супералгебра над R может быть определена как моноид в категории R-супермодулей. То есть, супералгебра – это R-супермодуль A с двумя (четными) морфизмами, для которых выполняются обычные диаграммы коммутативности.
for all homogeneous elements r ∈ R and x, y ∈ A.
Equivalently, one may define a superalgebra over R as a superring A together with an superring homomorphism R → A whose image lies in the supercenter of A. One may also define superalgebras categorically. The category of all R supermodules forms a monoidal category under the super tensor product with R serving as the unit object. An associative, unital superalgebra over R can then be defined as a monoid in the category of R supermodules. That is, a superalgebra is an R supermodule A with two (even) morphisms
for which the usual diagrams commute.