Кіріспе
Математикада Жан-Пьер Серр есімімен аталған Серрдің сандық болжамдары – алгебралық геометрияның қажеттіліктерімен туындаған коммутативтік алгебрадағы белгілі бір таза алгебралық мәселелер. Андре Вейльдің 1949 жыл шамасында қиылысу сандарын алғаш рет анықтағаннан бері, одан икемді және есептеуге қолайлы теорияны қалай құруға болады деген сұрақ туды. R-ді (Noetherian, commutative) реттелі жергілікті сақина деп алсақ, ал P және Q сақина R-дің жай идеалдары болсын. 1958 жылы Серр классикалық алгебралық-геометриялық көптік туралы идеяларды гомологиялық алгебраның ұғымдарын қолдану арқылы жалпылауға болатынын түсінді. Серр гомологиялық алгебраның Tor функторларын пайдаланып R/P және R/Q қиылысу көптігін былай анықтады:
This requires the concept of the length of a module, denoted here by , and the assumption that
If this idea were to work, however, certain classical relationships would presumably have to continue to hold. Serre singled out four important properties. These then became conjectures, challenging in the general case. (There are more general statements of these conjectures where R/P and R/Q are replaced by finitely generated modules: see Serre's Local Algebra for more details.)
Бұл модульдің ұзындығы түсінігін, оны осы жерде , деп белгілейміз, және егер бұл идея жұмыс істесе, белгілі бір классикалық қатынастар сақталуы керек деген болжамды қажет етеді. Серр төрт маңызды қасиетті бөліп көрсетті. Осы қасиеттер жалпы жағдайда шешуге қиын болжамға айналды. (Бұл болжамдардың R/P және R/Q шекті түрде жасалған модульдермен ауыстырылатын жалпылама тұжырымдары бар: толық ақпарат алу үшін Серрдің Жергілікті алгебрасына қараңыз.)
This requires the concept of the length of a module, denoted here by , and the assumption that
If this idea were to work, however, certain classical relationships would presumably have to continue to hold. Serre singled out four important properties. These then became conjectures, challenging in the general case. (There are more general statements of these conjectures where R/P and R/Q are replaced by finitely generated modules: see Serre's Local Algebra for more details.)
Өлшемдік теңсіздік
Серр бұл тұжырымды барлық реттелі жергілікті сақиналар үшін дәлелдеді. Ол R-дың тең сипаттамалық немесе аралас сипаттамалық және тармақталмаған (яғни, қалдық өрісінің сипаттамасы жергілікті сақинаның максималды идеалының квадратының құрамына кірмейтін) болған жағдайында келесі үш қасиетті орнатып, олардың жалпы жағдайда да орындалатынын болжады.
Теріс емес
Мұны 1995 жылы Офер Габбер дәлелдеді.