Введение

В математике гипотезы о кратностях Серра, названные в честь Жана Пьера Серра, представляют собой определенные чисто алгебраические задачи в коммутативной алгебре, обусловленные потребностями алгебраической геометрии. С момента первоначального определения чисел пересечений Андре Вейлем, примерно в 1949 году, возникал вопрос о создании более гибкой и вычислимой теории. Пусть R – (ноэтерианское, коммутативное) регулярное локальное кольцо, а P и Q – простые идеалы R. В 1958 году Серр понял, что классические алгебраические геометрические идеи о кратностях можно обобщить, используя понятия гомологической алгебры. Серр определил кратность пересечения R/P и R/Q посредством функторов Tor гомологической алгебры, что требует понятия длины модуля, обозначаемого здесь , и предположения, что если эта идея окажется работоспособной, то некоторые классические соотношения, вероятно, должны оставаться в силе. Серр выделил четыре важных свойства. Эти свойства стали гипотезами, сложными для проверки в общем случае. (Существуют более общие формулировки этих гипотез, в которых R/P и R/Q заменяются конечно порожденными модулями: подробности можно найти в книге Серра «Местная алгебра».)

Неравенство измерений

Серр доказал это для всех регулярных локальных колец. Он установил следующие три свойства, когда R имеет либо равную характеристику, либо смешанную характеристику и неразветвлённую (что в этом случае означает, что характеристика поля вычетов не является элементом квадрата максимального идеала локального кольца), и высказал предположение, что они верны в общем случае.

Неотрицательность

Это было доказано Офером Габбером в 1995 году.