Кіріспе
Математикада тікелей қосындылары және ядролар мен коядролардың белгілі бір түрлері бар категориялар қарастырылады. Абельдік категория – бұл морфизмдер мен объектілерді қосуға болатын, сондай-ақ ядролары мен коядролары бар және қажетті қасиеттерге ие категория. Абельдік категорияның түпкілікті мысалы – абельдік топтардың категориясы, 1='Ab'. Абельдік категориялар өте тұрақты категориялар болып табылады; мысалы, олар реттелі және жылан леммасын қанағаттандырады. Абельдік категориялар класы бірнеше категориялық құрылымдарға қатысты жабық, мысалы, абельдік категорияның тізбекті кешендер категориясы немесе кішкентай категориядан абельдік категорияға дейінгі функторлар категориясы да абельдік болып табылады. Осы тұрақтылық қасиеттері оларды гомологиялық алгебрада және одан тыс жерлерде маңызды етеді; теория алгебралық геометрияда, когомологияда және таза категориялар теориясында кеңінен қолданылады. Мак Лейн Александр Гротендик абельдік категорияны анықтады десе де, Айленбергтің шәкірті Буксбаум бұл ұғымды өзінің PhD диссертациясында ұсынғандығын және Гротендик оны "абельдік категория" деген атаумен танымал еткендігі туралы сілтемелер бар.
In mathematics, an abelian category is a category in which morphisms and objects can be added and in which kernels and cokernels exist and have desirable properties. The motivating prototypical example of an abelian category is the category of abelian groups, 1='Ab'. Abelian categories are very stable categories; for example they are regular and they satisfy the snake lemma. The class of abelian categories is closed under several categorical constructions, for example, the category of chain complexes of an abelian category, or the category of functors from a small category to an abelian category are abelian as well. These stability properties make them inevitable in homological algebra and beyond; the theory has major applications in algebraic geometry, cohomology and pure category theory. Mac Lane says Alexander Grothendieck defined the abelian category, but there is a reference that says Eilenberg's disciple, Buchsbaum, proposed the concept in his PhD thesis, and Grothendieck popularized it under the name "abelian category".
Мысалдар
Жоғарыда айтылғандай, барлық абельдік топтардың санаты абельдік санат болып табылады. Барлық шекті жасалған абельдік топтардың санаты да, барлық шекті абельдік топтардың санаты сияқты абельдік санат болып табылады. Егер R – сақина болса, онда R-дегі барлық сол (немесе оң) модульдердің санаты абельдік санат болып табылады. Шын мәнінде, кез келген кішкентай абельдік санат модульдер санатының толық ішкі санатына эквивалентті екенін көрсетуге болады (Митчеллдің ендіру теоремасы). Егер R сол жақ ноэтериан сақинасы болса, онда R үстіндегі шекті жасалған сол модульдер санаты абельдік болып табылады. Атап айтқанда, ноэтериандық коммутативтік сақинадағы шекті жасалған модульдер санаты абельдік болып табылады; осылайша, абельдік санаттар коммутативтік алгебрада кездеседі. Алдыңғы екі мысалдың ерекше жағдайлары ретінде: k тұрақты өрісі бойынша векторлық кеңістіктердің санаты абельдік, k бойынша шекті өлшемді векторлық кеңістіктердің санаты сияқты. Егер X – топологиялық кеңістік болса, онда X-тегі барлық (нақты немесе кешенді) векторлық шоғырлардың санаты әдетте абельдік санат емес, себебі ядролар емес мономорфизмдер болуы мүмкін. Егер X – топологиялық кеңістік болса, онда X-тегі абельдік топтардың барлық шоғырларының санаты абельдік санат болып табылады. Жалпы алғанда, Гротендик сайтындағы абельдік топтардың шоғырлары санаты абельдік санат болып табылады. Осылайша, абельдік санаттар алгебралық топология мен алгебралық геометрияда кездеседі. Егер C – кішкентай санат болса және A – абельдік санат болса, онда C-ден A-ға дейінгі барлық функторлардың санаты абельдік санат құрайды. Егер C кішкентай және преаддитивті болса, онда C-ден A-ға дейінгі барлық аддитивті функторлардың санаты да абельдік санат құрайды. Соңғысы R модулі мысалының жалпылауы болып табылады, себебі сақинаны бір объектісі бар преаддитивті санат ретінде қарастыруға болады.
If X is a topological space, then the category of all (real or complex) vector bundles on X is not usually an abelian category, as there can be monomorphisms that are not kernels. If X is a topological space, then the category of all sheaves of abelian groups on X is an abelian category. More generally, the category of sheaves of abelian groups on a Grothendieck site is an abelian category. In this way, abelian categories show up in algebraic topology and algebraic geometry. If C is a small category and A is an abelian category, then the category of all functors from C to A forms an abelian category. If C is small and preadditive, then the category of all additive functors from C to A also forms an abelian category. The latter is a generalization of the R module example, since a ring can be understood as a preadditive category with a single object.
Элементарлық қасиеттері
Абельдік санаттағы кез келген A, B нысандар жұбы үшін A-дан B-ге арналған ерекше нөлдік морфизм болады. Оны Hom(A,B) гомоморфизмдер жиынының нөлдік элементі ретінде анықтауға болады, себебі ол абельдік топ. Балама ретінде, оны A → 0 → B бірегей композициясы ретінде анықтауға болады, мұнда 0 – абельдік санаттың нөлдік нысаны. Абельдік санатта кез келген f морфизмін эпиморфизмнен кейін мономорфизмге дейін композиция ретінде жазуға болады. Бұл эпиморфизм f-тің коимиджі деп аталады, ал мономорфизм f-тің имиджі деп аталады. Абельдік санаттарда субнысандар мен фактор-нысандар жақсы қасиеттерге ие. Мысалы, кез келген берілген A нысанының субнысандарының жиыны шектелген тор болып табылады. Кез келген абельдік санат A – шекті жасалған абельдік топтардың моноидтік санатының модулі; яғни, шекті жасалған абельдік топ G пен A санатының кез келген нысаны A-ның тензорлық көбейтіндісін құруға болады. Абельдік санат сонымен қатар комодуль болып табылады; Hom(G,A) A нысаны ретінде қарастырылуы мүмкін. Егер A толық болса, онда G-нің шекті жасалуы талабын алып тастауға болады; ең жалпы жағдайда, A-да шекті байытылған шектерді құруға болады. Абельдік санаттағы нысанды қарастыра отырып, жазықтық – дәл функтор идеясына байланысты. Жазық модульді немесе, көбірек жалпылау үшін, жазық морфизмді қараңыз.
Subobjects and quotient objects are well behaved in abelian categories. For example, the poset of subobjects of any given object A is a bounded lattice. Every abelian category A is a module over the monoidal category of finitely generated abelian groups; that is, we can form a tensor product of a finitely generated abelian group G and any object A of A. The abelian category is also a comodule; Hom(G,A) can be interpreted as an object of A. If A is complete, then we can remove the requirement that G be finitely generated; most generally, we can form finitary enriched limits in A. Given an object in an abelian category, flatness refers to the idea that is an exact functor. See flat module or, for more generality, flat morphism.
Қарым-қатынас ұғымдары
Абельдік категориялар гомологиялық алгебра үшін ең жалпы ортаны құрайды. Нақты тізбектер, әсіресе қысқа нақты тізбектер және туынды функторлар сияқты осы саланың барлық құрылымдары маңызды. Барлық абельдік категорияларда қолданылатын маңызды теоремаларға бес лемма (және оның ерекше жағдайы – қысқа бес лемма), сондай-ақ жылан леммасы (және оның ерекше жағдайы – тоғыз лемма) жатады.
Жартылай қарапайым Абельдік санаттар
Абельдік категория жартылай қарапайым деп аталады, егер оның қарапайым объектілер деп аталатын объектілер жиынтығы болса (яғни, кез келген объектінің жалғыз ішкі объектілері – нөлдік объект және өзі). Мұндай жағдайда, кез келген объект абельдік категорияның копродуктын білдіретін тікелей қосынды ретінде жіктеледі. Бұл техникалық талап өте қатаң және табиғатта кездесетін көптеген абельдік категориялардың мысалдарын жоққа шығарады. Мысалы, сақима үстіндегі модульдердің көпшілігі жартылай қарапайым емес; шындығында, бұл жағдай тек қана сақима жартылай қарапайым болғанда ғана орын алады.
Үлгі емес
Кейбір табиғи қарсы мысалдар бар, яғни абелдік санаттардың жартылай жайлы емес түрлері, мысалы, кейбір өкілдік санаттары. Мысалы, Ли тобының өкілдіктерінің санатында өлшемі бар бір ғана ішкі өкілдік бар. Шындығында, бұл кез келген унипотент топ үшін де дұрыс, қараңыз 112-бет.
Абельдік санаттардың кіші санаттары
Табиғатта кездесетін абельдік санаттардың көптеген (толық, қосымша) кіші санаттары бар, сондай-ақ кейбір қарама-қайшы терминологиялар да бар. A – абельдік категория, C – толық, аддитивті субкатегория, I – кіріктіру функторы. C – дәл субкатегория, егер ол өзі дәл категория болса және кіріктіру I – дәл функтор болса. Бұл тек қана C эпиморфизмдердің кері бейнесі және мономорфизмдердің кеңейтілуі бойынша жабық болғанда ғана орын алады. С-тағы дәл тізбектер – бұл А-дағы дәл тізбектер, мұнда барлық объектілер C-де жатады. C – абельдік субкатегория, егер ол өзі абельдік категория болса және кіріктіру I – дәл функтор болса. Бұл тек қана C ядроларды және кокернельдерді алу бойынша жабық болғанда ғана орын алады. Абельдік категорияның толық кіші санаттарының мысалдары бар, олар өзі абельдік, бірақ кіріктіру функторы дәл емес, сондықтан олар абельдік кіші санаттар емес (төменде қараңыз). C – қалың субкатегория, егер ол тікелей қосылғыштар бойынша жабық болса және қысқа дәл тізбектердегі үш қасиеттің екеуін қанағаттандырса; яғни, егер A-да қысқа дәл тізбек болса және оның екеуі C-де жатса, онда үшіншісі де C-де болады. Басқаша айтқанда, C эпиморфизмдердің ядролары, мономорфизмдердің кокернельдері және кеңейтулер бойынша жабық. П. Габриэль қалың субкатегория терминін біз Серре субкатегориясы деп атаған нәрсені сипаттау үшін қолданғанын ескеріңіз. C – субкотиенттер бойынша жабық болса, топологиялық субкатегория. C – Серре субкатегориясы, егер A-дағы кез келген қысқа дәл тізбек үшін M C-де болса, егер және тек қана екі жағы да C-де болса. Басқаша айтқанда, C кеңейтулер мен субкотиенттер бойынша жабық. Бұл кіші санаттар – дәл A-дан басқа абельдік санатқа дейінгі дәл функторлардың ядролары. C – егер ол Серре субкатегориясы болса және оның бөлуші функторы оң жақты қосымшаға ие болса, онда ол локалдайтын субкатегория болып табылады. Кең субкатегорияның екі бәсекелес түсінігі бар. Бір нұсқасы – C-де A-ның барлық объектілері бар (изоморфизмге дейін); толық кіші санат үшін бұл әрине қызықты емес. (Бұл сондай-ақ lluf кіші санаты деп аталады.) Екінші нұсқасы – C кеңейтулер бойынша жабық. Міне, абельдік санаттың толық, аддитивті кіші санатының нақты мысалы, ол өзі абельдік, бірақ кіріктіру функторы дәл емес. k – өріс, k-ның үстінен жоғарғы үшбұрышты матрицалардың алгебрасы және шекті өлшемді модульдер санаты болсын. Содан кейін әрқайсысы абельдік категория және бізде қарапайым проективті, қарапайым инъективті және бөлшектелмейтін проективті-инъективті модульдерді анықтайтын кіріктіру функторы бар. I-нің негізгі бейнесі – толық, аддитивті кіші санат, бірақ I дәл емес.
C is an abelian subcategory if it is itself an abelian category and the inclusion I is an exact functor. This occurs if and only if C is closed under taking kernels and cokernels. Note that there are examples of full subcategories of an abelian category that are themselves abelian but where the inclusion functor is not exact, so they are not abelian subcategories (see below). C is a thick subcategory if it is closed under taking direct summands and satisfies the 2 out of 3 property on short exact sequences; that is, if is a short exact sequence in A such that two of lie in C, then so does the third. In other words, C is closed under kernels of epimorphisms, cokernels of monomorphisms, and extensions. Note that P. Gabriel used the term thick subcategory to describe what we here call a Serre subcategory. C is a topologizing subcategory if it is closed under subquotients. C is a Serre subcategory if, for all short exact sequences in A we have M in C if and only if both are in C. In other words, C is closed under extensions and subquotients. These subcategories are precisely the kernels of exact functors from A to another abelian category. C is a localizing subcategory if it is a Serre subcategory such that the quotient functor admits a right adjoint. There are two competing notions of a wide subcategory. One version is that C contains every object of A (up to isomorphism); for a full subcategory this is obviously not interesting. (This is also called a lluf subcategory.) The other version is that C is closed under extensions. Here is an explicit example of a full, additive subcategory of an abelian category that is itself abelian but the inclusion functor is not exact. Let k be a field, the algebra of upper triangular matrices over k, and the category of finite dimensional modules. Then each is an abelian category and we have an inclusion functor identifying the simple projective, simple injective and indecomposable projective injective modules. The essential image of I is a full, additive subcategory, but I is not exact.
Тарих
Абельдік категориялар ("дәл категория" деген атаумен) әртүрлі когомология теорияларын біріктіру мақсатымен және енгізілді. Ол кезде шоғырлар үшін когомология теориясы және топтар үшін когомология теориясы болды. Екеуінің анықтамалары әртүрлі болғанымен, олардың қасиеттері ұқсас еді. Шындығында, категория теориясының көп бөлігі осы ұқсастықтарды зерттеуге арналған тіл ретінде дамытылды. Гротендик екі теорияны біріктірді: олардың екеуі де абельдік категориялардағы туынды функторлар ретінде туындайды; топологиялық кеңістіктегі абельдік топтардың шоғырларының абельдік категориясы және берілген G тобы үшін G-модульдердің абельдік категориясы.