Введение
Категория с прямыми суммами и определенными типами ядер и коядер. В математике абелева категория — это категория, в которой морфизмы и объекты можно суммировать, и в которой существуют ядра и коядра, обладающие желаемыми свойствами. Мотивирующим прототипическим примером абелевой категории является категория абелевых групп, обозначаемая 1 = 'Ab'. Абелевы категории — очень стабильные категории; например, они регулярны и удовлетворяют лемме о змее. Класс абелевых категорий замкнут относительно ряда категорных конструкций, например, категория цепных комплексов абелевой категории или категория функторов из малой категории в абелеву категорию также являются абелевыми. Эти свойства стабильности делают их незаменимыми в гомологической алгебре и за её пределами; теория имеет важные приложения в алгебраической геометрии, когомологии и чистой теории категорий. Мак Лэйн утверждает, что Александр Гротендик дал определение абелевой категории, однако есть источник, указывающий, что ученик Эйленберга, Буксбаум, предложил эту концепцию в своей диссертации, а Гротендик популяризировал её под названием «абелева категория».
In mathematics, an abelian category is a category in which morphisms and objects can be added and in which kernels and cokernels exist and have desirable properties. The motivating prototypical example of an abelian category is the category of abelian groups, 1='Ab'. Abelian categories are very stable categories; for example they are regular and they satisfy the snake lemma. The class of abelian categories is closed under several categorical constructions, for example, the category of chain complexes of an abelian category, or the category of functors from a small category to an abelian category are abelian as well. These stability properties make them inevitable in homological algebra and beyond; the theory has major applications in algebraic geometry, cohomology and pure category theory. Mac Lane says Alexander Grothendieck defined the abelian category, but there is a reference that says Eilenberg's disciple, Buchsbaum, proposed the concept in his PhD thesis, and Grothendieck popularized it under the name "abelian category".
Примеры
Как упоминалось выше, категория всех абелевых групп является абелевой категорией. Категория всех конечно порожденных абелевых групп также является абелевой категорией, как и категория всех конечных абелевых групп. Если R – кольцо, то категория всех левых (или правых) модулей над R является абелевой категорией. Фактически, можно показать, что любая малая абелева категория эквивалентна полной подкатегории некоторой категории модулей (теорема о вложении Митчелла). Если R – левое нётерово кольцо, то категория конечно порожденных левых модулей над R является абелевой. В частности, категория конечно порожденных модулей над нётеровым коммутативным кольцом является абелевой; таким образом, абелевы категории возникают в коммутативной алгебре. Как частные случаи двух предыдущих примеров: категория векторных пространств над фиксированным полем k является абелевой, как и категория конечномерных векторных пространств над k. Если X – топологическое пространство, то категория всех (действительных или комплексных) векторных расслоений на X обычно не является абелевой категорией, поскольку могут существовать мономорфизмы, которые не являются ядрами. Если X – топологическое пространство, то категория всех пучков абелевых групп на X является абелевой категорией. В более общем случае, категория пучков абелевых групп на сайте Гротендика является абелевой категорией. Таким образом, абелевы категории возникают в алгебраической топологии и алгебраической геометрии. Если C – малая категория, а A – абелева категория, то категория всех функторов из C в A образует абелеву категорию. Если C малая и преаддитивная, то категория всех аддитивных функторов из C в A также образует абелеву категорию. Последнее является обобщением примера модуля R, поскольку кольцо можно понимать как преаддитивную категорию с единственным объектом.
If X is a topological space, then the category of all (real or complex) vector bundles on X is not usually an abelian category, as there can be monomorphisms that are not kernels. If X is a topological space, then the category of all sheaves of abelian groups on X is an abelian category. More generally, the category of sheaves of abelian groups on a Grothendieck site is an abelian category. In this way, abelian categories show up in algebraic topology and algebraic geometry. If C is a small category and A is an abelian category, then the category of all functors from C to A forms an abelian category. If C is small and preadditive, then the category of all additive functors from C to A also forms an abelian category. The latter is a generalization of the R module example, since a ring can be understood as a preadditive category with a single object.
Элементарные свойства
При любой паре объектов A, B в абелевой категории существует специальный нулевой морфизм из A в B. Его можно определить как нулевой элемент множества Hom(A, B), поскольку это абелева группа. Альтернативно, его можно определить как единственную композицию A → 0 → B, где 0 — нулевой объект абелевой категории. В абелевой категории каждый морфизм f можно представить как композицию эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Этот эпиморфизм называется кообразом f, а мономорфизм — образом f. Подобъекты и фактор-объекты хорошо определены в абелевых категориях. Например, полурешётка подобъектов любого заданного объекта A является ограниченной решёткой. Каждая абелева категория A является модулем над моноидальной категорией конечно порожденных абелевых групп; то есть можно образовать тензорное произведение конечно порожденной абелевой группы G и любого объекта A из A. Абелева категория также является комодулем; Hom(G, A) можно интерпретировать как объект в A. Если A полна, то можно отказаться от требования конечности G; в наиболее общем случае можно формировать финитарные обогащенные пределы в A. Для объекта в абелевой категории понятие плоскостности (flatness) связано с тем, что функтор является точным. См. плоский модуль или, в более общем случае, плоский морфизм.
Subobjects and quotient objects are well behaved in abelian categories. For example, the poset of subobjects of any given object A is a bounded lattice. Every abelian category A is a module over the monoidal category of finitely generated abelian groups; that is, we can form a tensor product of a finitely generated abelian group G and any object A of A. The abelian category is also a comodule; Hom(G,A) can be interpreted as an object of A. If A is complete, then we can remove the requirement that G be finitely generated; most generally, we can form finitary enriched limits in A. Given an object in an abelian category, flatness refers to the idea that is an exact functor. See flat module or, for more generality, flat morphism.
Связанные понятия
Абелевы категории — наиболее общая область определения для гомологической алгебры. В этой области применимы все используемые построения, такие как точные последовательности и, в особенности, короткие точные последовательности, а также производные функторы. Важными теоремами, справедливыми для всех абелевых категорий, являются лемма о пяти (и короткая лемма о пяти как частный случай), а также лемма змеи (и лемма о девяти как частный случай).
Полупростые абелевы категории
Абелева категория называется полупростой, если существует семейство объектов, называемых простыми объектами (то есть единственными подобъектами любого из них являются нулевой объект и сам объект), такое, что любой объект в ней может быть разложен в прямую сумму (которая является сопродуктом в данной абелевой категории). Это техническое условие достаточно сильное и исключает многие естественные примеры абелевых категорий. Например, большинство категорий модулей над кольцом не являются полупростыми; фактически, это имеет место тогда и только тогда, когда само кольцо является полупростым.
Непримеры
Существуют естественные контрпримеры абелевых категорий, которые не являются полупростыми, такие как некоторые категории представлений. Например, категория представлений группы Ли содержит представление, имеющее только одно подпредставление размерности *n*. На самом деле, это верно для любой унипотентной группы (стр. 112).
Подкатегории абелевых категорий
Существует множество типов (полных, аддитивных) подкатегорий абелевых категорий, встречающихся в природе, а также некоторая непоследовательность в терминологии. Пусть A — абелева категория, C — полная аддитивная подкатегория, а I — функтор включения. Подкатегория C называется точной, если она сама является точной категорией и включение I — точный функтор. Это выполняется тогда и только тогда, когда C замкнута относительно оттягиваний эпиморфизмов и отталкиваний мономорфизмов. Таким образом, точные последовательности в C — это точные последовательности в A, для которых все объекты лежат в C. Подкатегория C называется абелевой, если она сама является абелевой категорией и включение I — точный функтор. Это выполняется тогда и только тогда, когда C замкнута относительно ядер и коядер. Следует отметить, что существуют примеры полных подкатегорий абелевой категории, которые сами являются абелевыми, но функтор включения в которых не точен, поэтому они не являются абелевыми подкатегориями (см. ниже). Подкатегория C называется толстой, если она замкнута относительно прямых слагаемых и удовлетворяет свойству «2 из 3» для коротких точных последовательностей; то есть, если в A есть короткая точная последовательность, в которой два объекта лежат в C, то и третий объект лежит в C. Иными словами, C замкнута относительно ядер эпиморфизмов, коядер мономорфизмов и расширений. Следует отметить, что П. Габриэль использовал термин «толстая подкатегория» для обозначения того, что мы здесь называем подкатегорией Серре. Подкатегория C называется топологизирующей, если она замкнута относительно подчастных и факторчастных. Подкатегория C называется подкатегорией Серре, если для всех коротких точных последовательностей в A объект M лежит в C тогда и только тогда, когда оба объекта лежат в C. Иными словами, C замкнута относительно расширений и подчастных/факторчастных. Эти подкатегории являются ядрами точных функторов из A в другую абелеву категорию. Подкатегория C называется локализующей, если она является подкатегорией Серре, такой что факторный функтор допускает правое сопряжение. Существует два конкурирующих определения широкой подкатегории. Согласно одному из них, C содержит каждый объект A (с точностью до изоморфизма); для полной подкатегории это, очевидно, неинтересно. (Это также называется подкатегорией "люф"). Согласно другому определению, C замкнута относительно расширений. Вот явный пример полной аддитивной подкатегории абелевой категории, которая сама по себе является абелевой, но функтор включения в ней не точен. Пусть k — поле, — алгебра верхнетреугольных матриц над k, а — категория конечномерных модулей. Тогда каждый из них является абелевой категорией, и у нас есть функтор включения, отождествляющий простые проективные, простые инъективные и неразложимые проективно-инъективные модули. Существенный образ I является полной аддитивной подкатегорией, но I не точен.
C is an abelian subcategory if it is itself an abelian category and the inclusion I is an exact functor. This occurs if and only if C is closed under taking kernels and cokernels. Note that there are examples of full subcategories of an abelian category that are themselves abelian but where the inclusion functor is not exact, so they are not abelian subcategories (see below). C is a thick subcategory if it is closed under taking direct summands and satisfies the 2 out of 3 property on short exact sequences; that is, if is a short exact sequence in A such that two of lie in C, then so does the third. In other words, C is closed under kernels of epimorphisms, cokernels of monomorphisms, and extensions. Note that P. Gabriel used the term thick subcategory to describe what we here call a Serre subcategory. C is a topologizing subcategory if it is closed under subquotients. C is a Serre subcategory if, for all short exact sequences in A we have M in C if and only if both are in C. In other words, C is closed under extensions and subquotients. These subcategories are precisely the kernels of exact functors from A to another abelian category. C is a localizing subcategory if it is a Serre subcategory such that the quotient functor admits a right adjoint. There are two competing notions of a wide subcategory. One version is that C contains every object of A (up to isomorphism); for a full subcategory this is obviously not interesting. (This is also called a lluf subcategory.) The other version is that C is closed under extensions. Here is an explicit example of a full, additive subcategory of an abelian category that is itself abelian but the inclusion functor is not exact. Let k be a field, the algebra of upper triangular matrices over k, and the category of finite dimensional modules. Then each is an abelian category and we have an inclusion functor identifying the simple projective, simple injective and indecomposable projective injective modules. The essential image of I is a full, additive subcategory, but I is not exact.
История
Абелевы категории были введены (под названием «точная категория») и с целью объединить различные теории когомологий. В то время существовала теория когомологий для пучков и теория когомологий для групп. Они определялись по-разному, но обладали схожими свойствами. Фактически, значительная часть теории категорий была разработана как язык для изучения этих сходств. Гротендик объединил обе теории: они обе возникают как производные функторы на абелевых категориях, а именно — абелева категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве и абелева категория G-модулей для заданной группы G.