Кіріспе
ДИСПЛЕЙ АТАУЫ: Lp кеңістігі
Шектелген өлшемді p-норма кеңістіктерін жалпылайтын функциялық кеңістіктер
Function spaces generalizing finite dimensional p norm spaces
Математикада L^(p) кеңістіктері – шектелген өлшемді векторлық кеңістіктер үшін p-норманың табиғи жалпылауын қолдана отырып анықталатын функциялық кеңістіктер. Олар кейде Анри Лебегтің құрметіне аталған Лебег кеңістіктері деп аталады, бірақ Бурбаки тобының мәлімдемесіне сәйкес, оларды алғаш рет Фригиес Риес енгізген. L^(p) кеңістіктері функционалдық талдаудағы маңызды Банах кеңістіктерінің және топологиялық векторлық кеңістіктердің класын құрайды. Өлшем және ықтималдық кеңістіктерін математикалық талдаудың кілтті рөліне ие болғандықтан, Лебег кеңістіктері физика, статистика, экономика, қаржы, инженерия және басқа да салалардағы мәселелерді теориялық тұрғыдан талқылауда қолданылады.
L^(p) spaces form an important class of Banach spaces in functional analysis, and of topological vector spaces. Because of their key role in the mathematical analysis of measure and probability spaces, Lebesgue spaces are used also in the theoretical discussion of problems in physics, statistics, economics, finance, engineering, and other disciplines.
Статистика
Статистикада орталық тенденцияның шаралары және статистикалық таралу, мысалы, орташа, медиана және стандартты ауытқу, метрикалар тұрғысынан анықталуы мүмкін, ал орталық тенденцияның шараларын вариациялық есептердің шешімдері ретінде сипаттауға болады. Жарналы регрессияда "L1 айыбы" және "L2 айыбы" шешімнің параметрлер векторының нормасын (яғни оның абсолюттік мәндерінің қосындысын) немесе оның квадрат нормасын (Евклидтік ұзындығын) жазалауға қатысты. LASSO сияқты L1 айыбын қолданатын техникалар сиреп жатқан шешімдерге (көптеген параметрлер нөлге тең болатын) ынталандырады. Эластикалық тор реттелуі параметр векторының нормасы мен нормасының квадратының комбинациясы болып табылатын айып тармағын қолданады.
Гилберт кеңістіктері
Гильберт кеңістіктері кванттық механикадан бастап, стохастикалық есептеулерге дейінгі көптеген қолданыстардың маңызды құралы болып табылады. және кеңістіктері екеуі де Гильберт кеңістіктері. Шындығында, Гильберт негізін таңдау арқылы, яғни кез келген Гильберт кеңістігінің максималды ортонормалды жиынтығын таңдау арқылы, әрбір Гильберт кеңістігі изометриялық түрде изоморфты (жоғарыда аталғандай), яғни -типті Гильберт кеңістігі екенін көруге болады.
Қашан
Бір норма және басқа функция бар, оны "норма" деп атайды (тырнақшалармен). Норманың математикалық анықтамасы Банахтың сызықтық операциялар теориясымен белгіленді. Реттер кеңістігі F нормасымен қамтамасыз етілген толық метрикалық топологияға ие, оны Стефан Ролевич "Метрикалық сызықтық кеңістіктер" еңбегінде талқылайды. Нормаланған кеңістік функционалдық талдау, ықтималдықтар теориясы және гармоникалық талдау салаларында зерттеледі. Дэвид Донохо тағы бір функцияны "норма" деп атады – оның тырнақшалары бұл функцияның нақты норма емес екенін көрсетеді. Бұл вектордың нөлдік емес элементтерінің саны. Көптеген авторлар терминологияны дұрыс емес қолданып, тырнақшаларды жіберу арқылы қателік жасайды. Бұл норма емес, себебі ол біртекті емес. Мысалы, векторды оң санға көбейту "норманың" мәнін өзгерте алмайды. Математикалық норма ретінде бұл кемшіліктеріне қарамастан, нөлдік емес санау "нормасы" ғылыми есептеулерде, ақпараттар теориясында және статистикада, әсіресе сигналдарды өңдеудегі сығылған сезіну және есептеу гармоникалық талдауда қолданылады. Бұл нақты норма болмаса да, оған байланысты метрика, яғни Хамминг қашықтығы, жарамды қашықтық болып табылады, өйткені қашықтықтар үшін біртектілік қажет емес.
which is discussed by Stefan Rolewicz in Metric Linear Spaces. The normed space is studied in functional analysis, probability theory, and harmonic analysis. Another function was called the "norm" by David Donoho—whose quotation marks warn that this function is not a proper norm—is the number of non zero entries of the vector Many authors abuse terminology by omitting the quotation marks. Defining the zero "norm" of is equal to
This is not a norm because it is not homogeneous. For example, scaling the vector by a positive constant does not change the "norm". Despite these defects as a mathematical norm, the non zero counting "norm" has uses in scientific computing, information theory, and statistics–notably in compressed sensing in signal processing and computational harmonic analysis. Despite not being a norm, the associated metric, known as Hamming distance, is a valid distance, since homogeneity is not required for distances.
коллектордағы кеңістік
Тығыздықтарды қолдана отырып, көптеудегі кеңістіктерді, көптеудің ішкі кеңістіктері деп аталатын кеңістіктерді де анықтауға болады.
Векторлық мәнді кеңістік
Өлшемдік кеңістік және жергілікті дөңгелек кеңістік (мұнда толық деп есептеледі) берілгенде, -тағы интегралданатын мәнді функциялар кеңістігін бірнеше тәсілмен анықтауға болады. Бір тәсіл – Бохнер интегралданатын және Петтис интегралданатын функциялар кеңістіктерін анықтау, содан кейін оларды жергілікті дөңгелек TVS топологияларымен жабдықтау, олар (әрқайсысы өз жолымен) әдеттегі топологияның табиғи жалпыламасы болып табылады. Тағы бір тәсіл – векторлық кеңістіктің элементтерін және элементтерінің топологиялық тензорлық көбейтінділерін қарастыру, онда векторлық кеңістіктің әрбір элементі қарапайым тензорлардың шекті қосындысы болып табылады, ал әрбір қарапайым тензор функциямен сәйкестендіріледі, ол -ты жібереді. Бұл тензорлық көбейтінді жергілікті дөңгелек топологиямен жабдықталады, осылайша ол топологиялық тензорлық көбейтіндіге айналады, олардың ең көп таралғандары – проективті тензорлық көбейтінді, және инъективті тензорлық көбейтінді. Жалпы алғанда, бұл кеңістіктердің ешқайсысы толық емес, сондықтан олардың толықтырылғандары құрастырылады, олар сәйкесінше және болып табылады (бұл -тағы скалярлық мәнді қарапайым функциялар кеңістігі кез келген семинария бойынша толық емес, сондықтан толықтырылған кеңістік құрастырылады, ол, эквивалентті түрде, Банах кеңістігіне изоморфты). Александр Гротендик ядролық кеңістік (оның енгізген түсінігі) болғанда, бұл екі құрастырудың бұрын айтылған Бохнер және Петтис интегралды функциялар кеңістіктерімен канондық түрде TVS изоморфты екенін көрсетті; қысқасы, оларды ажырату мүмкін емес.