Введение
ЗАГОЛОВОК_ОТОБРАЖЕНИЯ: Lp-пространство
Функциональные пространства, обобщающие конечномерные p-нормальные пространства
Function spaces generalizing finite dimensional p norm spaces
В математике, L^(p)-пространства — это функциональные пространства, определяемые с использованием естественного обобщения p-нормы для конечномерных векторных пространств. Их иногда называют пространствами Лебега, в честь Анри Лебега, хотя, согласно группе Бурбаки, они были впервые введены Фригешем Риесом. L^(p)-пространства образуют важный класс пространств Банаха в функциональном анализе и топологических векторных пространств. Благодаря их ключевой роли в математическом анализе пространств мер и пространств вероятностей, пространства Лебега используются также в теоретическом обсуждении задач в физике, статистике, экономике, финансах, инженерии и других областях.
L^(p) spaces form an important class of Banach spaces in functional analysis, and of topological vector spaces. Because of their key role in the mathematical analysis of measure and probability spaces, Lebesgue spaces are used also in the theoretical discussion of problems in physics, statistics, economics, finance, engineering, and other disciplines.
Статистика
В статистике меры центральной тенденции и статистического разброса, такие как среднее, медиана и стандартное отклонение, могут быть определены в терминах метрик, а меры центральной тенденции могут быть охарактеризованы как решения вариационных задач. В штрафной регрессии "L1-штраф" и "L2-штраф" относятся к штрафованию либо нормы вектора параметров решения (то есть суммы их абсолютных значений), либо его квадратичной нормы (его евклидовой длины). Методы, использующие L1-штраф, такие как LASSO, способствуют получению разреженных решений (где большинство параметров равны нулю). Elastic Net регуляризация использует штрафной член, который является комбинацией нормы и квадратичной нормы вектора параметров.
Пространства Гильберта
Пространства Гильберта играют центральную роль во многих областях, от квантовой механики до стохастического исчисления. Пространства и являются пространствами Гильберта. Фактически, выбирая базис Гильберта – то есть максимальное ортонормальное подмножество или любого пространства Гильберта, – можно увидеть, что каждое пространство Гильберта изометрически изоморфно (то же самое, что и выше), то есть является пространством Гильберта типа .
Когда
Есть одна норма и другая функция, называемая "норма" (в кавычках). Математическое определение нормы было установлено теорией линейных операций Банаха. Пространство последовательностей обладает полной метрической топологией, задаваемой нормой F, которая обсуждается Стефаном Ролевичем в книге "Метрические линейные пространства". Нормированные пространства изучаются в функциональном анализе, теории вероятностей и гармоническом анализе. Другую функцию, названную "норма" Дэвидом Донохо, – кавычки указывают на то, что эта функция не является настоящей нормой, – представляет собой число ненулевых элементов вектора. Многие авторы небрежно используют терминологию, опуская кавычки. Определение нулевой "нормы" равно.
which is discussed by Stefan Rolewicz in Metric Linear Spaces. The normed space is studied in functional analysis, probability theory, and harmonic analysis. Another function was called the "norm" by David Donoho—whose quotation marks warn that this function is not a proper norm—is the number of non zero entries of the vector Many authors abuse terminology by omitting the quotation marks. Defining the zero "norm" of is equal to
This is not a norm because it is not homogeneous. For example, scaling the vector by a positive constant does not change the "norm". Despite these defects as a mathematical norm, the non zero counting "norm" has uses in scientific computing, information theory, and statistics–notably in compressed sensing in signal processing and computational harmonic analysis. Despite not being a norm, the associated metric, known as Hamming distance, is a valid distance, since homogeneity is not required for distances.
Это не норма, поскольку она не является однородной. Например, умножение вектора на положительную константу не изменяет "норму". Несмотря на эти недостатки как математической нормы, "норма" подсчета ненулевых элементов имеет применение в научных вычислениях, теории информации и статистике, в частности, в компрессионном зондировании в обработке сигналов и вычислительном гармоническом анализе. Несмотря на то, что это не норма, связанная с ней метрика, известная как расстояние Хэмминга, является допустимым расстоянием, поскольку для расстояний не требуется однородность.
which is discussed by Stefan Rolewicz in Metric Linear Spaces. The normed space is studied in functional analysis, probability theory, and harmonic analysis. Another function was called the "norm" by David Donoho—whose quotation marks warn that this function is not a proper norm—is the number of non zero entries of the vector Many authors abuse terminology by omitting the quotation marks. Defining the zero "norm" of is equal to
This is not a norm because it is not homogeneous. For example, scaling the vector by a positive constant does not change the "norm". Despite these defects as a mathematical norm, the non zero counting "norm" has uses in scientific computing, information theory, and statistics–notably in compressed sensing in signal processing and computational harmonic analysis. Despite not being a norm, the associated metric, known as Hamming distance, is a valid distance, since homogeneity is not required for distances.
пространства на коллекторах
Можно также определить пространства на многообразии, называемые внутренними пространствами многообразия, с помощью плотностей.
Пространства с векторными значениями
При заданном пространстве с мерой и локально выпуклом пространстве (здесь предполагается, что оно полное), можно определить пространства интегрируемых функций со значениями в различными способами. Один из способов — определить пространства функций, интегрируемых по Бохнеру и Петтису, а затем наделить их локально выпуклыми TVS-топологиями, которые (каждая по-своему) являются естественным обобщением обычной топологии. Другой способ включает в себя топологические тензорные произведения с . Элементы векторного пространства представляют собой конечные суммы простых тензоров , где каждый простой тензор можно отождествить с функцией, которая отображает в . Затем это тензорное произведение наделяется локально выпуклой топологией, которая превращает его в топологическое тензорное произведение, наиболее распространенными из которых являются проективное тензорное произведение, обозначаемое и инъективное тензорное произведение, обозначаемое . В общем случае, ни одно из этих пространств не является полным, поэтому строятся их завершения, которые обозначаются соответственно и . (Это аналогично тому, как пространство скалярнозначных простых функций, наделенное любой семинармой, не является полным, поэтому строится его завершение, которое после фактор-пространства по изометрически изоморфно пространству Банаха). Александр Гротендик показал, что когда является ядерным пространством (концепция, введенная им), то эти две конструкции, соответственно, канонически TVS-изоморфны пространствам интегральных функций Бохнера и Петтиса, упомянутым ранее; проще говоря, они неразличимы.