Кіріспе

Қосылмалы және көбейтуші керілердің жалпылануы

Математикада кері элемент ұғымы сандардың қарама-қарсы (−x) және өзара (1/x) ұғымдарын жалпылайды. Бұл жерде ∗ деп белгіленетін операцияны және e деп белгіленетін сәйкестік элементті берсек, егер x ∗ y = e = 1 болса, x – y-ның сол жақ керісі, ал y – x-нің оң жақ керісі деп айтуға болады. (Сәйкестік элемент – сол жақтары анықталған барлық x және y үшін x ∗ e = x = 1 және e ∗ y = y = 1 болатын элемент.) ∗ операциясы ассоциативті болған кезде, егер x элементінің сол жақ және оң жақ керісі болса, онда бұл екі кері тең және бірегей; оларды кері элемент немесе жай ғана кері деп атайды. Операцияны нақтылау үшін көбінесе сөз қосылады, мысалы, қосымша кері, көбейтуші кері және функционалдық кері. Бұл жағдайда (ассоциативті операция) кері элемент – керісі бар элемент. Сақинада кері айналатын элемент, бірлік деп те аталады, көбейту бойынша кері айналатын элемент (бұл екіұшты емес, өйткені әрбір элемент қосу бойынша кері айналады). Керілер әдетте әрбір элемент кері айналатын топтарда және кері айналатын элементтері бірліктер деп аталатын сақиналарда қолданылады. Олар сондай-ақ, барлық мүмкін операндар үшін анықталмаған операциялар үшін, мысалы, кері матрицалар мен кері функциялар үшін жиі қолданылады. Бұл категориялар теориясына жалпыландырылды, онда, анықтама бойынша, изоморфизм – кері морфизм. "Inverse" сөзі wikt:inversus сөзінен алынған, бұл "кері бұрылған", "айналдырылған" дегенді білдіреді. Бұл бөлшектердің жағдайында пайда болуы мүмкін, онда (көбейтуші) керісі алым мен бөлімді алмастыру арқылы алынады ( мысалы, -нің керісі ).

Топтар бойынша

Топ – сәйкестік элементі және әрбір элементіне кері элементі бар ассоциативті операциясы бар жиын. Сондықтан, кері элемент – топтан өзіне функция, оны бір аргументті операция ретінде де қарастыруға болады. Бұл инволюция, себебі элементтің кері элементінің керісі – сол элементтің өзі. Топ жиынға түрлендірулер арқылы әрекет ете алады. Мұндай жағдайда топтың элементінің керісі, сол элемент арқылы анықталған түрлендіруге кері түрлендіруді анықтайды, яғни сол элемент арқылы анықталған түрлендіруді «кері қайтарады». Мысалы, Рубик текшесінің тобы – элементар қимылдардың шекті тізбектерін көрсетеді. Мұндай тізбектің керісі – әр қимылдың керісін кері ретпен қолдану арқылы алынады.

Моноидтар

Моноид – сәйкестік элементі бар ассоциативтік операциясы бар жиынтық. Моноидтағы инвертибельді элементтер моноидтық операция бойынша топты құрайды. Сақина – сақина көбейтуіне қатысты моноид. Бұл жағдайда инвертибельді элементтер бірліктер деп аталады және сақинаның бірліктер тобын құрайды. Егер моноид коммутативті болмаса, инвертибельді емес элементтердің сол жақ немесе оң жақ инверсі болуы мүмкін (бірақ екісі де бірдей болмайды, әйтпесе элемент инвертибельді болар еді). Мысалы, бір жиынтықтан өзіне дейінгі функциялар жиынтығы функция композициясы бойынша моноид болып табылады. Бұл моноидта инвертибельді элементтер – биективті функциялар; сол жақ инверсі бар элементтер – инъективті функциялар, ал оң жақ инверсі бар элементтер – сюръективті функциялар. Моноид берілген жағдайда, оны кейбір элементтерге инверстер қосу арқылы кеңейтуге болады. Бұл, әдетте, коммутативті емес моноидтар үшін мүмкін емес, бірақ коммутативті моноидта жою қасиетіне ие элементтерге инверстер қосуға болады (егер болса, онда екенін және егер болса, онда 1 = екенін білдіретін x элементі). Моноидты осылай кеңейту Гротендиктің топтық құрылысы арқылы жүзеге асырылады. Бұл әдіс көбінесе бүтін сандарды табиғи сандардан, рационалды сандарды бүтін сандардан құру үшін, сондай-ақ жалпы алғанда, бүтін доменнің бөлшектер өрісін және коммутативті сақиналардың локализацияларын салу үшін қолданылады.

Сақиналар

Сақина – екі операцияны, яғни қосу мен көбейтуді қамтитын алгебралық құрылым, олар сандарға қатысты әдеттегі операциялар ретінде белгіленеді. Қосу бойынша сақина – абель тобы, яғни қосу коммутативті және ассоциативті; оның нейтралды элементі бар, ол қосу нейтралды элементі деп аталады және 0 деп белгіленеді; және әр элементтің x керісі бар, ол қосу керісі деп аталады және −x деп белгіленеді. Коммутативтілік болғандықтан, сол және оң керілер ұғымдары мағынасыз, себебі олар керілерден ешқандай айырмашылығы жоқ. Көбейту бойынша сақина – моноид; бұл көбейту ассоциативті екенін және көбейту нейтралды элементі деп аталатын және 1 деп белгіленетін нейтралды элементке ие екенін білдіреді. Көбейтуге қатысты кері айналатын элемент – бірлік деп аталады. Бірлік x-тің керісі немесе көбейту керісі (қосу керілерімен шатасуды болдырмау үшін) белгіленеді немесе, егер көбейту коммутативті болса.

Қосу нейтралды элементі 0, сақина нөлдік сақина болмаса, бірлік емес; нөлдік сақинаның жалғыз ғана элементі 0 болады. Егер 0 – жалғыз бірлік емес элемент болса, онда көбейту коммутативті болса, сақина – дала, ал көбейту коммутативті болмаса – бөлу даласы болады. Коммутативті емес сақинада (яғни көбейтуі коммутативті емес сақинада) кері айналмайтын элементтің бір немесе бірнеше сол немесе оң керісі болуы мүмкін. Мысалы, бұл шексіз өлшемді векторлық кеңістіктен өзіне дейінгі сызықтық функциялардың жағдайында кездеседі. Коммутативті сақина (яғни көбейтуі коммутативті сақина) нөлдік бөлгіш емес элементтерге кері элементтерді қосу арқылы кеңейтілуі мүмкін (яғни олардың нөлдік емес элементпен көбейтіндісі 0-ге тең бола алмайды). Бұл – локализация процесі, ол, атап айтқанда, бүтін сандар сақинасынан рационал сандар даласын және, жалпы алғанда, бүтін доменнің бөлшектер даласын тудырады. Локализация нөлдік бөлгіштермен де қолданылады, бірақ бұл жағдайда бастапқы сақина локализацияның ішкі сақинасы емес; керісінше, ол локализацияға инъективті емес түрде бейнеленеді.

Матрицалар

Матрица көбейтуі әдетте өріс үстіндегі матрицалар үшін анықталады және тікелей түрде сақиналар, рнг және жартылай сақиналар үстіндегі матрицаларға кеңейтіледі. Дегенмен, осы бөлімде тек коммутативті сақинадағы матрицалар қарастырылады, себебі реті және анықтауыш ұғымдарын қолдану қажет. Егер A – m×n матрица (яғни, m қатарлы және n бағанды матрица) болса, ал B – p×q матрицасы болса, онда AB көбейтіндісі тек қана 1=n = p болған жағдайда ғана анықталады. Бірлік матрица, яғни матрица көбейтуінің бірлік элементе – басты диагоналінің барлық элементтері 1-ге тең, ал қалған барлық элементтері 0-ге тең болатын квадрат матрица (қатарлар мен бағандар саны бірдей). Инвертирленетін матрица – матрица көбейтуі бойынша инвертирленетін элемент. Коммутативті R сақинасы үстіндегі матрица, егер және тек қана оның анықтауышы R-де бірлік болса (яғни, R-де инвертирленетін болса) инвертирленеді. Бұл жағдайда оның кері матрицасын Крамер ережесі арқылы есептеуге болады. Егер R өріс болса, анықтауыш тек қана нөлге тең болмағанда ғана инвертирленеді. Өрістердің жағдайлары жиі кездесетіндіктен, инвертирленетін матрицалар көбінесе нөлден өзгеше анықтауышы бар матрицалар деп анықталады, бірақ бұл сақиналар үшін дұрыс емес. Бүтін сандық матрицалар (яғни, бүтін сандық элементтері бар матрицалар) жағдайында инвертирленетін матрица – керісі де бүтін сандық матрица болатын матрица. Мұндай матрица нақты сандар үстінде инвертирленетін матрицалардан ерекшелену үшін унимодулярлы матрица деп аталады. Квадраттық бүтін сандық матрица, егер оның анықтауышы 1 немесе -1 болса ғана унимодулярлы болады, себебі осы екі сан бүтін сандар сақинасындағы жалғыз бірліктер болып табылады. Матрицаның сол жақтан керісі бар, егер және тек қана оның реті бағандар санына тең болса. Бұл сол жақтан керісі бірегей емес, квадрат матрицаларды қоспағанда, онда сол жақтан керісі кері матрицаға тең болады. Сол сияқты, оң жақтан кері матрица бар, егер және тек қана реті қатарлар санына тең болса; ол тікбұрышты матрица жағдайында бірегей емес, ал квадрат матрица жағдайында кері матрицаға тең.

Функциялар, гомоморфизмдер мен морфизмдер

Композиция – алгебралық құрылымдардың гомоморфизмдері мен категориялардың морфизмдеріне операцияларға жалпыланатын, сондай-ақ композиция деп аталатын және функция композициясымен көптеген қасиеттерді бөлісетін ішінара операция. Кез келген жағдайда композиция ассоциативті болады. Егер және болса, композиция анықталған, егер және тек егер немесе функциялар мен гомоморфизмдер жағдайында, функцияның мәндік аймағы g функциясының анықталу облысына тең немесе кіріктірілген болса. Морфизмдер жағдайында бұл g функциясының анықталу облысына тең дегенді білдіреді. Әрбір X объектісі (жинақ, алгебралық құрылым немесе объект) үшін сәйкестік бар, ол функциялар жағдайында сәйкестік функциясы деп аталады. Функция егер және тек егер ол биекция болса, керіленеді. Керіленетін гомоморфизм немесе морфизм изоморфизм деп аталады. Алгебралық құрылымдардың гомоморфизмі егер және тек егер ол биекция болса, изоморфизм болып табылады. Биекцияның кері функциясы кері функция деп аталады. Басқа жағдайларда кері изоморфизмдер туралы айтылады. Функцияның сол жақ немесе оң жақ керісі бар, егер және тек егер ол инъективті немесе сюръективті болса. Алгебралық құрылымдардың сол жақ керісі немесе оң жақ керісі бар гомоморфизмі тиісінше инъективті немесе сюръективті, бірақ кейбір алгебралық құрылымдарда керісі дұрыс емес. Мысалы, керісі векторлық кеңістіктер үшін дұрыс, бірақ сақинадағы модульдер үшін емес: оң жақ керісі немесе сол жақ керісі бар модульдердің гомоморфизмі тиісінше бөлінген эпиморфизм немесе бөлінген мономорфизм деп аталады. Бұл терминология кез келген категориядағы морфизмдер үшін де қолданылады.

Жартылай топта

Алдыңғы бөлімдегі анықтама топтағы кері ұғымын сәйкестік ұғымына қатысты жалпылайды. Алайда, одан аз түсінікті болса да, сәйкестік элементін тастап, бірақ ассоциативтілікті сақтап, кері ұғымын жалпылауға болады, яғни жартылай топта. S жартылай тобындағы x элементі (фон Нейман) тұрақты элемент деп аталады, егер S-де xzx = x болатын z элементі болса; z кейде псевдоинверс деп аталады. Егер xyx = x және y = yxy болса, y элементі x-тің керісі деп аталады. Кез келген тұрақты элементтің кем дегенде бір керісі болады: егер x = xzx болса, онда y = zxz осы бөлімде анықталғандай x-тің керісі екенін тексеру оңай. Тағы бір оңай дәлелдеуге болатын факт: егер y – x-тің керісі болса, онда e = xy және f = yx – идемпотенттер, яғни ee = e және ff = f. Осылайша, (өзара) кері элементтердің әрбір жұбы екі идемпотентті тудырады, және ex = xf = x, ye = fy = y, ал e x-тің сол жақ сәйкестігі ретінде, ал f оң жақ сәйкестігі ретінде әрекет етеді, ал y үшін сол және оң рөлдер ауысады. Бұл қарапайым байқау Грин қатынастарын пайдаланып жалпылауға болады: кез келген жартылай топтағы әрбір идемпотент e, Re үшін сол жақ сәйкестік және Le үшін оң жақ сәйкестік болып табылады. Бұл фактінің интуитивті сипаттамасы – өзара кері элементтердің әрбір жұбы жергілікті сол жақ сәйкестікті және тиісінше жергілікті оң жақ сәйкестікті тудырады. Моноидта алдыңғы бөлімде анықталған кері ұғымы осы бөлімде берілген анықтамадан қатаң түрде тар. Бірлік магма тұрғысынан тек H1 Грин класындағы элементтердің ғана керісі бар, ал кез келген идемпотент e үшін He элементтері осы бөлімде анықталғандай керіге ие. Бұл жалпы анықтама бойынша керілер кез келген жартылай топта немесе моноидта бірегей болуы (немесе болуы) міндетті емес. Егер барлық элементтер тұрақты болса, онда жартылай топ (немесе моноид) тұрақты деп аталады, және әрбір элементтің кем дегенде бір керісі болады. Егер әрбір элементтің осы бөлімде көрсетілгендей дәл бір керісі болса, онда жартылай топ кері жартылай топ деп аталады. Соңында, тек бір идемпотенті бар кері жартылай топ – топ. Кері жартылай топ сіңіретін элементке 0 ие болуы мүмкін, өйткені 000 = 0, ал топта мұндай элемент болмауы мүмкін. Жартылай топ теориясының шегінен тыс, осы бөлімде анықталған бірегей кері кейде квази-кері деп аталады. Бұл көбінесе негізделген, өйткені көптеген қолданбаларда (мысалы, осы мақаладағы барлық мысалдарда) ассоциативтілік сақталады, бұл осы ұғымды сәйкестікке қатысты сол/оң керіге жалпылауға айналдырады (толыққанды керіге қараңыз).

Мысалдар

Осы бөлімдегі барлық мысалдар байланыстыру операторларын қолданады.

Галуа қосылыстары

(Монотонды) Галуа байланысындағы төменгі және жоғарғы жалғаулар, L және G, бір-бірінің квази-кері шамалары болып табылады; яғни, LGL = L және GLG = G, сондай-ақ біреуі екіншісін бірегей түрде анықтайды. Дегенмен, олар бір-біріне сол жақтан немесе оң жақтан кері шамалар емес.