Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Галуа модулі – G модулі, мұнда G – кейбір өрістер кеңейтуінің Галуа тобы. Галуа өрнегі термині G модулі векторлық кеңістік болғанда, өріс үстінде, немесе бейнелеу теориясында сақина үстіндегі бос модуль болғанда жиі қолданылады, бірақ оны G модулінің синонимі ретінде де қолдануға болады. Жергілікті немесе жаһандық өрістердің кеңейтулері үшін Галуа модульдерін және олардың топтық когомологиясын зерттеу сандар теориясындағы маңызды құрал болып табылады.
In mathematics, a Galois module is a G module, with G being the Galois group of some extension of fields. The term Galois representation is frequently used when the G module is a vector space over a field or a free module over a ring in representation theory, but can also be used as a synonym for G module. The study of Galois modules for extensions of local or global fields and their group cohomology is an important tool in number theory.
Мысалдар
K өрісі берілгенде, K-ның ажыратылатын жабылуының көбейту тобы (Ks)× абсолютті Галуа тобы үшін Галуа модулі болып табылады. Оның екінші когомология тобы K-ның Брауэр тобына изоморфты (Гилберттің 90-шы теоремасы бойынша, оның бірінші когомология тобы нөлге тең). Егер X – K өрісі үстіндегі тегіс және жабық схема болса, онда оның геометриялық талшығының ℓ-адикалық когомология топтары K-ның абсолютті Галуа тобы үшін Галуа модульдері болып табылады.
Given a field K, the multiplicative group (Ks)× of a separable closure of K is a Galois module for the absolute Galois group. Its second cohomology group is isomorphic to the Brauer group of K (by Hilbert's theorem 90, its first cohomology group is zero). If X is a smooth proper scheme over a field K then the ℓ adic cohomology groups of its geometric fibre are Galois modules for the absolute Galois group of K.
Жаңқалық теориясы
K – бағаланған өріс (бағасы v деп белгіленсін) және L/K – G Галуа тобы бар шекті Галуа кеңейтімі болсын. v-нің L-ге кеңейтімі w үшін, Iw оның инерциялық тобы деп белгіленсін. ρ : G → Aut(V) Галуа модулі, егер ρ(Iw) = {1} болса, тармақталмаған деп аталады.
Let K be a valued field (with valuation denoted v) and let L/K be a finite Galois extension with Galois group G. For an extension w of v to L, let Iw denote its inertia group. A Galois module ρ : G → Aut(V) is said to be unramified if ρ(Iw) = {1}.
Сандар теориясындағы Галуа бейнелеулері
Сандар теориясында туындайтын көптеген объектілер табиғи түрде Галуа өкілдіктері болып табылады. Мысалы, егер L – K сан денесінің Галуа кеңейтілмесі болса, L-дің OL бүтін сандар сақинасы L/K Галуа тобы үшін OK үстінен Галуа модульі болып табылады (Хилберт-Спейзер теоремасын қараңыз). Егер K жергілікті дене болса, оның ажыратылатын жабылуының көбейту тобы K-ның абсолютті Галуа тобы үшін модуль болып табылады және оны зерттеу жергілікті сыныптар теориясына алып келеді. Глобалды сыныптар теориясы үшін K-ның барлық шекті ажыратылатын кеңейтімдерінің иделдік сыныптар топтарының біріктірілуі қолданылады. Сондай-ақ, қосымша объектілерден туындайтын Галуа өкілдіктері бар, оларды Галуа топтарын зерттеу үшін пайдалануға болады. Мысалдардың маңызды тобы – абелдік сорттардың ℓ-адық Тейт модульдері.
Many objects that arise in number theory are naturally Galois representations. For example, if L is a Galois extension of a number field K, the ring of integers OL of L is a Galois module over OK for the Galois group of L/K (see Hilbert–Speiser theorem). If K is a local field, the multiplicative group of its separable closure is a module for the absolute Galois group of K and its study leads to local class field theory. For global class field theory, the union of the idele class groups of all finite separable extensions of K is used instead. There are also Galois representations that arise from auxiliary objects and can be used to study Galois groups. An important family of examples are the ℓ adic Tate modules of abelian varieties.
Артин бейнелері
K сандық өріс болсын. Эмиль Артин K абсолютті Галлуа тобының GK абсолютті Галлуа тобындағы Галлуа өкілдіктерінің класын енгізді, бұл қазір Артин өкілдіктері деп аталады. Бұл күрделі векторлық кеңістіктердегі GK-ның үздіксіз, шекті өлшемді сызықтық өкілдіктері. Артиннің осы өкілдіктерді зерттеуі оны Артиннің өзара байланыс заңы мен Артин L-функцияларының голоморфиясына қатысты Артиннің болжамын тұжырымдауға әкелді. GK-дегі прокенестік топология мен күрделі векторлық кеңістіктердегі қалыпты (Евклидтік) топологияның үйлесімсіздігі салдарынан Артин өкілдігінің бейнесі әрқашан шекті болады.
Let K be a number field. Emil Artin introduced a class of Galois representations of the absolute Galois group GK of K, now called Artin representations. These are the continuous finite dimensional linear representations of GK on complex vector spaces. Artin's study of these representations led him to formulate the Artin reciprocity law and conjecture what is now called the Artin conjecture concerning the holomorphy of Artin L functions. Because of the incompatibility of the profinite topology on GK and the usual (Euclidean) topology on complex vector spaces, the image of an Artin representation is always finite.
l-адикалық бейнелеулер
I - жай сан болсын. GK-ның ℓ-дық бейнелеуі – ρ: GK → Aut(M) үздіксіз топ гомоморфизмі, мұнда M – ℓ-ге (ℓ-дық сандардың Qℓ алгебралық жабылуы) немесе шекті түрде құрылған ℓ-модулі (мұнда ℓ – Zℓ-нің ℓ-дегі интегралды жабылуы) үстіндегі шекті өлшемді векторлық кеңістік. Алғашқы мысалдар – ℓ-адикалық циклотомиялық сипат және K-ге дейінгі абельдік түрлердің ℓ-адикалық Тейт модульдері. Басқа мысалдар модульдік формалар мен автоморфтық формалардың Галуа бейнелеулерінен, сондай-ақ алгебралық түрлердің ℓ-адикалық когомология топтарының Галуа бейнелеулерінен туындайды. Артин бейнелеулерінен айырмашылығы, ℓ-адикалық бейнелеулер шексіз бейнеге ие болуы мүмкін. Мысалы, ℓ-адикалық циклотомиялық сипат бойынша GQ-ның бейнесі. ℓ-адикалық бейнелеулер, шекті бейнесі бар, көбінесе Артин бейнелеулері деп аталады. ℓ-ның C-мен изоморфизмі арқылы оларды нақты Артин бейнелеулерімен сәйкестендіруге болады.
Let ℓ be a prime number. An ℓ adic representation of GK is a continuous group homomorphism ρ : GK → Aut(M) where M is either a finite dimensional vector space over ℓ (the algebraic closure of the ℓ adic numbers Qℓ) or a finitely generated ℓ module (where ℓ is the integral closure of Zℓ in ℓ). The first examples to arise were the ℓ adic cyclotomic character and the ℓ adic Tate modules of abelian varieties over K. Other examples come from the Galois representations of modular forms and automorphic forms, and the Galois representations on ℓ adic cohomology groups of algebraic varieties. Unlike Artin representations, ℓ adic representations can have infinite image. For example, the image of GQ under the ℓ adic cyclotomic character is ℓ adic representations with finite image are often called Artin representations. Via an isomorphism of ℓ with C they can be identified with bona fide Artin representations.
Модельдік бейнелеулер
Бұл l сипаттамасы бар шекті өрістегі бейнелеулер. Олар көбінесе l-адилік бейнелеудің l модулі бойынша қысқарту нәтижесі ретінде туындайды.
These are representations over a finite field of characteristic ℓ. They often arise as the reduction mod ℓ of an ℓ adic representation.
Өкілдіктің жергілікті шарттары
Кейбір қасиеттерімен берілген бейнелеулерге, олар белгілі бір жай санның бөлшектеу тобымен шектелгенде, көптеген шарттар қолданылады. Бұл шарттардың терминологиясы шатасқан, әртүрлі авторлар бірдей шартқа әртүрлі атаулар береді және бір атауды әртүрлі мағыналарда қолданады. Осы шарттардың кейбіреулері:
There are numerous conditions on representations given by some property of the representation restricted to a decomposition group of some prime. The terminology for these conditions is somewhat chaotic, with different authors inventing different names for the same condition and using the same name with different meanings. Some of these conditions include:
Абельдік бейнелеулер. Бұл бейнелеулерде Галуа тобының бейнесі абельдік болады. Абсолюттік түрде толық емес бейнелеулер. Бұл бейнелеулер өрістің алгебралық жабылуында толық емес. Барсотти–Тате бейнелеулері. Бұл бейнелеулер шекті жазық бейнелеулерге ұқсас. Кристаллдық бейнелеулер. де Рам бейнелеулері. Шекті жазық бейнелеулер. (Бұл атау сәл жаңылыстырады, себебі олар нақты шекті емес, профаниттік.) Оларды Галуа тобының шекті жазық топтық схемадағы бейнелеулерінің проективтік лиміті ретінде құрастыруға болады. Жақсы бейнелеулер. Бұл бейнелеулер жақсы редукцияланған эллиптік қисықтардың бейнелеуімен байланысты. Ходж–Тейт бейнелеулері. Толық емес бейнелеулер. Бұл бейнелеулер толық емес, яғни жалғыз суббейнелеу – бүкіл кеңістік немесе нөл. Минималды бұтақтанулы бейнелеулер. Модульдік бейнелеулер. Бұл модульдік формадан алынған бейнелеулер, бірақ оң сипаттағы өрістердегі бейнелеулерге де қатысты болуы мүмкін. Кәдімгі бейнелеулер. Бұл бейнелеулер эллиптік қисықтардың кәдімгі (суперсингляр емес) редукциясымен байланысты. Нақтырақ айтқанда, бұл 1 өлшемді суббейнелеуі бар 2 өлшемді бейнелеулер, мұнда инерция тобы субмодуль және бөліндіге белгілі бір тәсілмен әсер етеді. Нақты шарт авторға байланысты; мысалы, ол бөліндіде тривиальды түрде және субмодульде ε белгісімен әрекет ете алады. Потенциалды түрде бір нәрсе бейнелеулері. Бұл бейнелеулер шекті индекске ие ашық кіші топқа шектелгенде белгілі бір қасиетке ие дегенді білдіреді. Толық емес бейнелеулер. Бұл бейнелеулерде нөлдік емес суббейнелеу бар. Жартылай тұрақты бейнелеулер. Бұл жартылай тұрақты эллиптік қисықтардан алынған бейнелеулерге қатысты 2 өлшемді бейнелеулер. Жіңішке бұтақтанулы бейнелеулер. Бұл бейнелеулер (бірінші) бұтақтану тобында тривиальды. Бұтақтанусыз бейнелеулер. Бұл бейнелеулер инерция тобында тривиальды. Қатаң бұтақтанулы бейнелеулер. Бұл бейнелеулер (бірінші) бұтақтану тобында тривиальды емес.
Abelian representations. This means that the image of the Galois group in the representations is abelian. Absolutely irreducible representations. These remain irreducible over an algebraic closure of the field. Barsotti–Tate representations. These are similar to finite flat representations. Crystalline representations. de Rham representations. Finite flat representations. (This name is a little misleading, as they are really profinite rather than finite.) These can be constructed as a projective limit of representations of the Galois group on a finite flat group scheme. Good representations. These are related to the representations of elliptic curves with good reduction. Hodge–Tate representations. Irreducible representations. These are irreducible in the sense that the only subrepresentation is the whole space or zero. Minimally ramified representations. Modular representations. These are representations coming from a modular form, but can also refer to representations over fields of positive characteristic. Ordinary representations. These are related to the representations of elliptic curves with ordinary (non supersingular) reduction. More precisely, they are 2 dimensional representations that are reducible with a 1 dimensional subrepresentation, such that the inertia group acts in a certain way on the submodule and the quotient. The exact condition depends on the author; for example it might act trivially on the quotient and by the character ε on the submodule. Potentially something representations. This means that the representations restricted to an open subgroup of finite index has some specified property. Reducible representations. These have a proper non zero sub representation. Semistable representations. These are two dimensional representations related to the representations coming from semistable elliptic curves. Tamely ramified representations. These are trivial on the (first) ramification group. Unramified representations. These are trivial on the inertia group. Wildly ramified representations. These are non trivial on the (first) ramification group.