Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике модуль Галуа — это G-модуль, где G — группа Галуа некоторого расширения полей. Термин "представление Галуа" часто используется, когда G-модуль является векторным пространством над полем или свободным модулем над кольцом в теории представлений, но также может употребляться как синоним G-модуля. Изучение модулей Галуа для расширений локальных или глобальных полей и их групповой когомологии является важным инструментом в теории чисел.
In mathematics, a Galois module is a G module, with G being the Galois group of some extension of fields. The term Galois representation is frequently used when the G module is a vector space over a field or a free module over a ring in representation theory, but can also be used as a synonym for G module. The study of Galois modules for extensions of local or global fields and their group cohomology is an important tool in number theory.
Примеры
При заданном поле K, мультипликативная группа (Ks)× сепарабельного замыкания K является модулем Галуа над абсолютной группой Галуа. Ее вторая когомологическая группа изоморфна группе Брауэра поля K (по теореме Гильберта 90, ее первая когомологическая группа равна нулю). Если X — гладкая проективная схема над полем K, то ℓ-адические когомологические группы ее геометрического волокна являются модулями Галуа над абсолютной группой Галуа поля K.
Given a field K, the multiplicative group (Ks)× of a separable closure of K is a Galois module for the absolute Galois group. Its second cohomology group is isomorphic to the Brauer group of K (by Hilbert's theorem 90, its first cohomology group is zero). If X is a smooth proper scheme over a field K then the ℓ adic cohomology groups of its geometric fibre are Galois modules for the absolute Galois group of K.
Теория разветвления
Пусть K — это поле с заданным рядом (с рядом, обозначаемым v), и пусть L/K — конечное расширение Галуа с группой Галуа G. Для расширения w ряда v на L, пусть Iw обозначает его группу инерции. Модуль Галуа ρ: G → Aut(V) называется неразветвлённым, если ρ(Iw) = {1}.
Let K be a valued field (with valuation denoted v) and let L/K be a finite Galois extension with Galois group G. For an extension w of v to L, let Iw denote its inertia group. A Galois module ρ : G → Aut(V) is said to be unramified if ρ(Iw) = {1}.
Представления Галуа в теории чисел
Многие объекты, возникающие в теории чисел, являются естественными представлениями Галуа. Например, если L – расширение Галуа числового поля K, то кольцо целых чисел OL поля L является модулем Галуа над OK для группы Галуа L/K (см. теорему Гильберта — Шпейзера). Если K – локальное поле, то мультипликативная группа его сепарабельного замыкания является модулем для абсолютной группы Галуа поля K, и её изучение приводит к теории поля классов для локальных полей. Для глобальной теории поля классов используется объединение групп классов идеалов всех конечных сепарабельных расширений K. Существуют также представления Галуа, возникающие из вспомогательных объектов, которые можно использовать для изучения групп Галуа. Важным примером является семейство ℓ-адических модулей Тата абелевых многообразий.
Many objects that arise in number theory are naturally Galois representations. For example, if L is a Galois extension of a number field K, the ring of integers OL of L is a Galois module over OK for the Galois group of L/K (see Hilbert–Speiser theorem). If K is a local field, the multiplicative group of its separable closure is a module for the absolute Galois group of K and its study leads to local class field theory. For global class field theory, the union of the idele class groups of all finite separable extensions of K is used instead. There are also Galois representations that arise from auxiliary objects and can be used to study Galois groups. An important family of examples are the ℓ adic Tate modules of abelian varieties.
Артинские представления
Пусть K — числовое поле. Эмиль Артин ввёл класс галуасовых представлений абсолютной галуасовой группы GK поля K, которые теперь называются представлениями Артина. Это непрерывные линейные представления конечной размерности GK на комплексных векторных пространствах. Изучение Артином этих представлений привело его к формулировке закона взаимности Артина и к выдвижению гипотезы, ныне известной как гипотеза Артина о голоморфности L-функций Артина. В силу несовместимости проконечной топологии на GK и обычной (евклидовой) топологии на комплексных векторных пространствах, образ представления Артина всегда конечен.
Let K be a number field. Emil Artin introduced a class of Galois representations of the absolute Galois group GK of K, now called Artin representations. These are the continuous finite dimensional linear representations of GK on complex vector spaces. Artin's study of these representations led him to formulate the Artin reciprocity law and conjecture what is now called the Artin conjecture concerning the holomorphy of Artin L functions. Because of the incompatibility of the profinite topology on GK and the usual (Euclidean) topology on complex vector spaces, the image of an Artin representation is always finite.
l-адные представления
Пусть ℓ — простое число. ℓ-адическое представление GK — это непрерывный групповой гомоморфизм ρ: GK → Aut(M), где M — либо конечномерное векторное пространство над ℓ (алгебраическое замыкание ℓ-адических чисел Qℓ), либо конечно порожденный ℓ-модуль (где ℓ — интегральное замыкание Zℓ в ℓ). Первыми примерами были ℓ-адический циклотомический характер и ℓ-адические модули Тейта абелевых многообразий над K. Другие примеры возникают из представлений Галуа модульных форм и автоморфных форм, а также из представлений Галуа на ℓ-адических когомологических группах алгебраических многообразий. В отличие от представлений Артина, ℓ-адические представления могут иметь бесконечный образ. Например, образ GQ под ℓ-адическим циклотомическим характером бесконечен. ℓ-адические представления с конечным образом часто называют представлениями Артина. Через изоморфизм ℓ и C они могут быть отождествлены с «настоящими» представлениями Артина.
Let ℓ be a prime number. An ℓ adic representation of GK is a continuous group homomorphism ρ : GK → Aut(M) where M is either a finite dimensional vector space over ℓ (the algebraic closure of the ℓ adic numbers Qℓ) or a finitely generated ℓ module (where ℓ is the integral closure of Zℓ in ℓ). The first examples to arise were the ℓ adic cyclotomic character and the ℓ adic Tate modules of abelian varieties over K. Other examples come from the Galois representations of modular forms and automorphic forms, and the Galois representations on ℓ adic cohomology groups of algebraic varieties. Unlike Artin representations, ℓ adic representations can have infinite image. For example, the image of GQ under the ℓ adic cyclotomic character is ℓ adic representations with finite image are often called Artin representations. Via an isomorphism of ℓ with C they can be identified with bona fide Artin representations.
Модели
Это представления над конечным полем характеристики ℓ. Они часто возникают как вычет по модулю ℓ из ℓ-адического представления.
These are representations over a finite field of characteristic ℓ. They often arise as the reduction mod ℓ of an ℓ adic representation.
Местные условия представления
Существует множество условий для представлений, задаваемых некоторым свойством представления, ограниченного группой разложения некоторого простого числа. Терминология этих условий несколько хаотична: разные авторы придумывают разные названия для одного и того же условия и используют одно и то же название с разными значениями. Некоторые из этих условий включают:
There are numerous conditions on representations given by some property of the representation restricted to a decomposition group of some prime. The terminology for these conditions is somewhat chaotic, with different authors inventing different names for the same condition and using the same name with different meanings. Some of these conditions include:
Абелевы представления. Это означает, что образ группы Галуа в этих представлениях является абелевым. Абсолютно неприводимые представления. Они остаются неприводимыми при алгебраическом замыкании поля. Представления Барсотти–Тейта. Они аналогичны конечным плоским представлениям. Кристаллические представления. Представления де Рама. Конечные плоские представления. (Это название несколько вводит в заблуждение, поскольку на самом деле они являются проконечными, а не конечными.) Они могут быть построены как проективный предел представлений группы Галуа на конечной плоской групповой схеме. Хорошие представления. Они связаны с представлениями эллиптических кривых с хорошим приведением. Представления Ходж–Тейта. Неприводимые представления. Они неприводимы в том смысле, что единственным подпредставлением является всё пространство или ноль. Минимально разветвленные представления. Модульные представления. Это представления, возникающие из модулярной формы, но также могут относиться к представлениям над полями положительной характеристики. Обычные представления. Они связаны с представлениями эллиптических кривых с обычным (не суперсингулярным) приведением. Более точно, это двумерные представления, которые приводимы с одномерным подпредставлением, таким что группа инерции действует определённым образом на подмодуль и фактормодуль. Точное условие зависит от автора; например, она может действовать тривиально на фактормодуль и символом ε на подмодуль. Потенциально какие-то представления. Это означает, что представления, ограниченные открытой подгруппой конечного индекса, обладают некоторым заданным свойством. Приводимые представления. У них есть собственное ненулевое подпредставление. Полустабильные представления. Это двумерные представления, связанные с представлениями полустабильных эллиптических кривых. Умеренно разветвленные представления. Они тривиальны на (первой) группе разветвления. Неразветвленные представления. Они тривиальны на группе инерции. Сильно разветвленные представления. Они нетривиальны на (первой) группе разветвления.
Abelian representations. This means that the image of the Galois group in the representations is abelian. Absolutely irreducible representations. These remain irreducible over an algebraic closure of the field. Barsotti–Tate representations. These are similar to finite flat representations. Crystalline representations. de Rham representations. Finite flat representations. (This name is a little misleading, as they are really profinite rather than finite.) These can be constructed as a projective limit of representations of the Galois group on a finite flat group scheme. Good representations. These are related to the representations of elliptic curves with good reduction. Hodge–Tate representations. Irreducible representations. These are irreducible in the sense that the only subrepresentation is the whole space or zero. Minimally ramified representations. Modular representations. These are representations coming from a modular form, but can also refer to representations over fields of positive characteristic. Ordinary representations. These are related to the representations of elliptic curves with ordinary (non supersingular) reduction. More precisely, they are 2 dimensional representations that are reducible with a 1 dimensional subrepresentation, such that the inertia group acts in a certain way on the submodule and the quotient. The exact condition depends on the author; for example it might act trivially on the quotient and by the character ε on the submodule. Potentially something representations. This means that the representations restricted to an open subgroup of finite index has some specified property. Reducible representations. These have a proper non zero sub representation. Semistable representations. These are two dimensional representations related to the representations coming from semistable elliptic curves. Tamely ramified representations. These are trivial on the (first) ramification group. Unramified representations. These are trivial on the inertia group. Wildly ramified representations. These are non trivial on the (first) ramification group.