Введение
Обратный образ нуля при гомоморфизме
В алгебре ядро гомоморфизма (функция, сохраняющая структуру) обычно является обратным образом 0 (за исключением групп, операция которых обозначается умножением, где ядро является обратным образом 1). Важным частным случаем является ядро линейного отображения. Ядро матрицы, также называемое нулевым пространством, является ядром линейного отображения, заданного этой матрицей. Ядро гомоморфизма тривиально (сводится к 0 или 1) тогда и только тогда, когда гомоморфизм инъективен, то есть обратный образ каждого элемента состоит из одного элемента. Это означает, что ядро можно рассматривать как меру неинъективности гомоморфизма. Для некоторых типов структур, таких как абелевы группы и векторные пространства, возможные ядра являются точно подструктурами того же типа. Это не всегда так, и иногда возможные ядра имеют специальное название, например, нормальная подгруппа для групп и двусторонние идеалы для колец. Ядра позволяют определять фактор-объекты (также называемые фактор-алгебрами в универсальной алгебре и коядрами в теории категорий). Для многих типов алгебраических структур фундаментальная теорема о гомоморфизмах (или первая теорема об изоморфизмах) утверждает, что образ гомоморфизма изоморфен факторгруппе по ядру. Понятие ядра было расширено на структуры, для которых обратного образа одного элемента недостаточно для определения инъективности гомоморфизма. В этих случаях ядро является отношением конгруэнтности. Данная статья представляет собой обзор некоторых важных типов ядер в алгебраических структурах.
In algebra, the kernel of a homomorphism (function that preserves the structure) is generally the inverse image of 0 (except for groups whose operation is denoted multiplicatively, where the kernel is the inverse image of 1). An important special case is the kernel of a linear map. The kernel of a matrix, also called the null space, is the kernel of the linear map defined by the matrix. The kernel of a homomorphism is reduced to 0 (or 1) if and only if the homomorphism is injective, that is if the inverse image of every element consists of a single element. This means that the kernel can be viewed as a measure of the degree to which the homomorphism fails to be injective. For some types of structure, such as abelian groups and vector spaces, the possible kernels are exactly the substructures of the same type. This is not always the case, and, sometimes, the possible kernels have received a special name, such as normal subgroup for groups and two sided ideals for rings. Kernels allow defining quotient objects (also called quotient algebras in universal algebra, and cokernels in category theory). For many types of algebraic structure, the fundamental theorem on homomorphisms (or first isomorphism theorem) states that image of a homomorphism is isomorphic to the quotient by the kernel. The concept of a kernel has been extended to structures such that the inverse image of a single element is not sufficient for deciding whether a homomorphism is injective. In these cases, the kernel is a congruence relation. This article is a survey for some important types of kernels in algebraic structures.
Гомоморфизмы группы
Пусть G и H – группы, а f – групповой гомоморфизм из G в H. Если eH – тождественный элемент H, то ядро f – это прообраз одноэлементного множества {eH}; то есть подмножество G, состоящее из всех элементов G, которые отображаются f в элемент eH. Ядро обычно обозначается ker f (или его вариацией). Поскольку групповой гомоморфизм сохраняет тождественные элементы, тождественный элемент eG группы G должен принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядро состоит только из одноэлементного множества {eG}. Если f не инъективен, то неинъективные элементы могут образовывать отличный элемент его ядра: существуют a, b ∈ G такие, что a ≠ b и f(a) = f(b) = eH. Следовательно, f(ab⁻¹) = f(a)f(b⁻¹) = eH, то есть ab⁻¹ ∈ ker f, и ker f не является одноэлементным множеством. И наоборот, различные элементы ядра непосредственно нарушают инъективность: если существует элемент g ≠ eG ∈ ker f, то f(g) = f(eG) = eH, следовательно, f не инъективен. Ядро ker f является подгруппой G и, более того, нормальной подгруппой. Таким образом, существует соответствующая факторгруппа G / (ker f). Она изоморфна f(G) – образу группы G под действием f (которая также является подгруппой H) – согласно первой теореме об изоморфизме для групп. В частном случае абелевых групп отклонений от предыдущего раздела нет.
Since a group homomorphism preserves identity elements, the identity element eG of G must belong to the kernel. The homomorphism f is injective if and only if its kernel is only the singleton set {eG}. If f were not injective, then the non injective elements can form a distinct element of its kernel: there would exist a, b ∈ G such that a ≠ b and 1=f(a) = f(b). Thus 1=f(a)f(b)−1 = eH. f is a group homomorphism, so inverses and group operations are preserved, giving 1=f(ab−1) = eH; in other words, ab−1 ∈ ker f, and ker f would not be the singleton. Conversely, distinct elements of the kernel violate injectivity directly: if there would exist an element g ≠ eG ∈ ker f, then 1=f(g) = f(eG) = eH, thus f would not be injective. ker f is a subgroup of G and further it is a normal subgroup. Thus, there is a corresponding quotient group G / (ker f). This is isomorphic to f(G), the image of G under f (which is a subgroup of H also), by the first isomorphism theorem for groups. In the special case of abelian groups, there is no deviation from the previous section.
Пример
Пусть G — циклическая группа из 6 элементов с операцией сложения по модулю, H — циклическая группа из 2 элементов с операцией сложения по модулю, и f — гомоморфизм, отображающий каждый элемент g из G в элемент g по модулю 2 в H. Тогда все эти элементы отображаются в 0H. Факторгруппа G / (ker f) имеет два элемента: 0H и 1H, и она действительно изоморфна H.
Моноидные гомоморфизмы
Пусть M и N — моноиды, а f — моноидный гомоморфизм из M в N. Тогда ядро f — это подмножество прямого произведения M × M, состоящее из всех упорядоченных пар элементов M, компоненты которых отображаются функцией f в один и тот же элемент в N. Ядро обычно обозначается ker f (или его вариацией). Поскольку f — функция, элементы вида (m, m) должны принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядро состоит только из диагонального множества. Оказывается, ker f является отношением эквивалентности на M, и, более того, отношением конгруэнтности. Следовательно, имеет смысл говорить о фактор-моноиде M / (ker f). Первая теорема об изоморфизме для моноидов утверждает, что этот фактор-моноид естественным образом изоморфен образу f (которое является подмоноидом N; для отношения конгруэнтности). Это существенно отличается от приведенных выше примеров. В частности, прообраз нейтрального элемента N недостаточно для определения ядра f.
Since f is a function, the elements of the form (m, m) must belong to the kernel. The homomorphism f is injective if and only if its kernel is only the diagonal set
It turns out that ker f is an equivalence relation on M, and in fact a congruence relation. Thus, it makes sense to speak of the quotient monoid M / (ker f). The first isomorphism theorem for monoids states that this quotient monoid is naturally isomorphic to the image of f (which is a submonoid of N; for the congruence relation). This is very different in flavour from the above examples. In particular, the preimage of the identity element of N is not enough to determine the kernel of f.
Универсальная алгебра
Все вышеперечисленные случаи могут быть объединены и обобщены в универсальной алгебре.
Алгебры Мальцева
В случае алгебр Мальцева эта конструкция может быть упрощена. Каждая алгебра Мальцева имеет специальный нейтральный элемент (нулевой вектор в случае векторных пространств, единичный элемент в случае коммутативных групп и нулевой элемент в случае колец или модулей). Характерной особенностью алгебры Мальцева является то, что мы можем восстановить все отношение эквивалентности ker f из класса эквивалентности нейтрального элемента. Чтобы быть точным, пусть A и B – алгебраические структуры Мальцева данного типа, а f – гомоморфизм этого типа из A в B. Если eB – нейтральный элемент B, то ядро f является прообразом одноэлементного множества {eB}; то есть подмножества A, состоящего из всех элементов A, которые отображаются f в элемент eB. Ядро обычно обозначается ker f (или его вариацией). В символах:
Поскольку гомоморфизм алгебры Мальцева сохраняет нейтральные элементы, нейтральный элемент eA из A должен принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядро состоит только из одного элемента. Понятие идеала обобщается на любую алгебру Мальцева (как линейное подпространство в случае векторных пространств, нормальную подгруппу в случае групп, двусторонний идеал в случае колец и подмодуль в случае модулей). Оказывается, что ker f не является подалгеброй A, но является идеалом. Тогда имеет смысл говорить о фактор-алгебре A / (ker f). Первая теорема об изоморфизме для алгебр Мальцева утверждает, что эта фактор-алгебра естественно изоморфна образу f (который является подалгеброй B). Связь между этим и отношением конгруэнтности для более общих типов алгебр следующая. Во-первых, ядро как идеал является классом эквивалентности нейтрального элемента eA относительно ядра как отношения конгруэнтности. Для обратного направления нам необходимо понятие частного в алгебре Мальцева (которое является делением на обе стороны для групп и вычитанием для векторных пространств, модулей и колец). Используя это, элементы a и b из A эквивалентны относительно ядра как отношения конгруэнтности тогда и только тогда, когда их частное a/b является элементом ядра как идеала.
The notion of ideal generalises to any Malcev algebra (as linear subspace in the case of vector spaces, normal subgroup in the case of groups, two sided ideals in the case of rings, and submodule in the case of modules). It turns out that ker f is not a subalgebra of A, but it is an ideal. Then it makes sense to speak of the quotient algebra G / (ker f). The first isomorphism theorem for Malcev algebras states that this quotient algebra is naturally isomorphic to the image of f (which is a subalgebra of B). The connection between this and the congruence relation for more general types of algebras is as follows. First, the kernel as an ideal is the equivalence class of the neutral element eA under the kernel as a congruence. For the converse direction, we need the notion of quotient in the Mal'cev algebra (which is division on either side for groups and subtraction for vector spaces, modules, and rings). Using this, elements a and b of A are equivalent under the kernel as a congruence if and only if their quotient a/b is an element of the kernel as an ideal.
Алгебры с неалгебраической структурой
Иногда алгебры снабжаются неалгебраической структурой в дополнение к своим алгебраическим операциям. Например, можно рассмотреть топологические группы или топологические векторные пространства, которые снабжены топологией. В этом случае мы ожидаем, что гомоморфизм f сохранит эту дополнительную структуру; в топологических примерах мы хотим, чтобы f было непрерывным отображением. Этот процесс может столкнуться с затруднением при рассмотрении фактор-алгебр, которые могут вести себя непредсказуемо. В топологических примерах мы можем избежать проблем, требуя, чтобы топологические алгебраические структуры были хаусдорфовыми (как это обычно делается); тогда ядро (независимо от способа его построения) будет замкнутым множеством, а фактор-пространство будет работать корректно (и также будет хаусдорфовым).
Ядра в теории категорий
Понятие ядра в теории категорий является обобщением ядер абелевых алгебр; см. Ядро (теория категорий). Категорическое обобщение ядра как отношения конгруэнтности — это пара ядра. (Существует также понятие ядра разности, или бинарного уравнителя.)