Кіріспе

Математикалық теоремалар тобы Математикада, әсіресе абстрактілік алгебрада, изоморфизм теоремалары (Нётер изоморфизм теоремалары деп те аталады) — бөліктер, гомоморфизмдер және ішкі объектілер арасындағы қатынасты сипаттайтын теоремалар. Теоремалардың топтар, сақиналар, векторлық кеңістіктер, модульдер, Ли алгебралары және басқа да алгебралық құрылымдар үшін түрлері бар. Универсалды алгебрада изоморфизм теоремаларын алгебралар мен конгруэнциялар контексінде жалпылауға болады.

Тарих

Изоморфизм теоремаларын Эмми Ноэтер 1927 жылы «Mathematische Annalen» журналында жарияланған «Algebraischen Zahl und Funktionenkörpern» атты «Abstrakter Aufbau der Idealtheorie» еңбегінде модульдердің гомоморфизмдері үшін белгілі бір деңгейде жалпылама түрде тұжырымдаған. Осы теоремалардың кем жалпылама нұсқалары Ричард Дедекиндтің еңбектерінде және Ноэтердің бұрынғы жарияланымдарында кездеседі. Үш жыл өткен соң Б. Л. ван дер Ваерден өзінің ықпалды «Заманауи алгебра» атты алғашқы абстрактілік алгебра оқулығын жариялады, ол пәнді топтар, сақиналар және өрістер тұрғысынан қарастырды. Ван дер Ваерден Ноэтердің топтар теориясы және Эмиль Артиннің алгебра бойынша лекцияларын, сондай-ақ Артин, Вильгельм Блашке, Отто Шрайер және өзінің идеалдар бойынша өткізген семинарын негізгі дереккөздер ретінде атады. Гомоморфизм теоремасы деп аталатын үш изоморфизм теоремасы және топтарға қолданғанда изоморфизмнің екі заңы нақты көрсетілген.

Топтар

Алдымен топтардың изоморфизм теоремаларын қарастырамыз.

Талқылау

Бірінші изоморфизм теоремасын категориялық теориялық тілмен топтар санаты (нормалды эпи, моно) факторланатын деп тұжырымдауға болады; яғни, нормалды эпиморфизмдер мен мономорфизмдер аталған санат үшін факторлау жүйесін құрайды. Бұл шектегі коммутативтік диаграммада көрсетілген, ол морфизмнен олардың бар екенін логикалық түрде шығаруға болатын объектілер мен морфизмдерді бейнелейді. Диаграмма топтар санатындағы кез келген морфизмнің категориялық теориялық мағынада ядросы болатынын көрсетеді; кездейсоқ морфизм f морфизмдерге жіктеледі , мұнда ι – мономорфизм, ал π – эпиморфизм (конормальды санатта барлық эпиморфизмдер нормальды болады). Бұл диаграммада объект және мономорфизм (ядролар әрқашан мономорфизмдер) арқылы бейнеленеді, олар диаграмманың төменгі сол жағынан жоғарғы оң жағына дейінгі қысқа дәл тізбегін толықтырады. Дәл тізбек туралы конвенцияны қолдану бізге нөлдік морфизмдерді және сызу қажеттігінен құтқарады. Егер тізбек оң жақтан бөлінетін болса (яғни, σ морфизмі өзінің кері бейнесіне жіберетін болса), онда G – нормальды кіші топтың және кіші топтың жартылай тура көбейтіндісі болады. Егер ол сол жақтан бөлінетін болса (яғни, мұндай морфизмдердің бірі болса), онда ол оң жақтан да бөлінуі керек, ал – G-нің тікелей көбейтіндісінің ыдырауы. Жалпы алғанда, оң жақтан бөлінудің болуы сол жақтан бөлінудің болуын білдірмейді; бірақ абельдік санатта (мысалы, абельдік топтар санатында) сол жақтан және оң жақтан бөлінулер бөлу леммасы бойынша эквивалентті, ал оң жақтан бөліну тікелей қосындының ыдырауын жасауға жеткілікті. Абельдік санатта барлық мономорфизмдер де нормальды, және диаграмманы екінші қысқа дәл тізбекпен кеңейтуге болады. Екінші изоморфизм теоремасында SN өнімі G топтарының кіші топтарының торсында S және N-нің біріктірілісін, ал S∩N қиылысын көрсетеді. Үшінші изоморфизм теоремасы тоғыз лемма арқылы абельдік санаттарға және объектілер арасындағы жалпылау карталарына жалпыланады.

Сақиналар

Сақиналар үшін теоремалардың тұжырымдары ұқсас, қалыпты кіші топ түсінігі идеал түсінігімен алмастырылады.

С теоремасы (сақиналар)

R – сақина, ал I – R сақинасының идеалы болсын. Егер R-нің ішкі сақинасы болса, онда ол R-нің ішкі сақинасы болады. R-нің кез келген ішкі сақинасы, R-нің кейбір ішкі сақинасы үшін болады. Егер I – R-нің идеалы болса, онда ол R-нің идеалы болады. R-нің кез келген идеалы, R-нің кейбір идеалы үшін болады. Егер I – R-нің идеалы болса, онда бөлімдік сақинасы -ға изоморфты болады.

D теоремасы (сақиналар)

Болсын – сақинаның идеалы. Сәйкестік – сақинаның ішкі сақиналары жиыны арасындағы инклюзияны сақтайтын биекция болып табылады, бұл сақинаны қамтиды және сақинаның ішкі сақиналары жиыны. Сонымен қатар, ( сақинаны қамтитын ішкі сақина) – егер және ғана егер – сақинаның идеалы болса, онда – сақинаның идеалы болады.

Модульдер

Модульдер үшін изоморфизм теоремаларының тұжырымдары ерекше қарапайым, себебі кез келген субмодульден бөлу модулін жасау мүмкін. Векторлық кеңістіктерге (дала үстіндегі модульдер) және абельдік топтарға (дала үстіндегі модульдер) қатысты изоморфизм теоремалары – осылардың ерекше жағдайлары. Шектелген өлшемді векторлық кеңістіктер үшін бұл теоремалардың бәрі де ранг-нөлдік теоремадан шығады. Бұдан былай, "модуль" термині белгілі бір R сақинасы үшін "R-модуль" дегенді білдіреді.

С теоремасы (модульдер)

M модуль, T – M-нің субмодулі болсын.

Егер – модулінің субмодулі болса және , онда – модулінің субмодулі болады. модулінің кез келген субмодулі түрінде болады, мұнда – модулінің субмодулі және . Егер – модулінің субмодулі болса және , онда бөлімдік модуль – модуліне изоморфты.

D теоремасы (модульдер)

Модуль, болсын, -ің ішкі модулі. -ні қамтитын -нің ішкі модульдері мен -нің ішкі модульдері арасында биекция бар. Сәйкестік барлық үшін келесідей беріледі. Бұл сәйкестік қосындылар мен қиылыстарды алу операцияларымен үйлеседі (яғни, -нің ішкі модульдерінің торы мен -ні қамтитын -нің ішкі модульдерінің торы арасындағы торлық изоморфизм).

Жалпыға ортақ алгебра

Мұны әмбебап алгебраға жалпылау үшін қалыпты кіші топтарды конгруэнттік қатынастармен алмастыру қажет. Алгебрадағы конгруэнция – компоненттік операциялармен алгебра ретінде қарастырылғанда субальгебра құрайтын эквиваленттік қатынас. Эквиваленттік сыныптар жиынынан өкілдер арқылы операцияларды анықтау арқылы сол типтегі алгебра жасауға болады; бұл жақсы анықталған, себебі ол субальгебра болып табылады. Соның нәтижесінде шығатын құрылым – бөлшек алгебра.

А теоремасы (әлемдік алгебра)

Алгебралық гомоморфизм болсын. Онда -ның бейнесі -ның субальгебрасы болады, -мен берілген қатынас (яғни -ның ядросы) - бұл -дағы конгруэнция, ал алгебралар мен изоморфты. (Егер топ болса, онда егер және ғана егер , яғни топ теориясында қолданылатын ядро ұғымын осы жағдайда қайта аламыз.)

С теоремасы (жалпы алгебра)

Алгебралық құрылым және оның үстінде екі конгруэнттік қатынас болсын , егер онда , - конгруэнттік қатынас болады, ал - изоморфтық.

D теоремасы (әлемдік алгебра)

Алгебралық болсын және жиынтықтағы барлық конгруенциялар жиынымен белгілейік. Жиынтық инклюзия бойынша реттелген толық тор болып табылады. Егер конгруенция болса және оны қамтитын барлық конгруенциялар жиынын арқылы белгілейтін болсақ (яғни, - негізгі сүзгі, сонымен қатар ол сурешетке), онда бейнелеуі решеткалық изоморфизм болып табылады.