Жакобиандық сан алуандығы – алгебралық қисықтарды зерттеудегі маңызды құрал. Геометриялық қасиеттері, модульдік кеңістік ретіндегі ролі, және Абель-Жакоби теоремасы туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, g түріндегі емес сингулярлық алгебралық қисық C-нің Якобиандық әртүрлілігі J(C) 0 дәрежелі түзу шоғырлардың модульдік кеңістігі болып табылады. Ол C пикард тобындағы бірлік компоненті, демек, абелдік әртүрлілік.
In mathematics, the Jacobian variety J(C) of a non singular algebraic curve C of genus g is the moduli space of degree 0 line bundles. It is the connected component of the identity in the Picard group of C, hence an abelian variety.
Кіріспе
Якобидің көптүрлілігі Карл Густав Якобидің есімімен аталады, ол Абель-Якоби теоремасының толық нұсқасын дәлелдеді, Нильс Абельдің инъективтілік тұжырымын изоморфизмге айналдырды. Бұл негізінен поляризацияланған абельдік көптүрлілік, өлшемі g, сондықтан кешенді сандар бойынша бұл кешенді тор. Егер p – C нүктесі болса, онда C қисығын J-дің ішкі көптүрлілігіне бейнелеуге болады, онда берілген p нүктесі J-дің бірлік элементіне бейнеленеді, ал C, J-ді топ ретінде тудырады.
The Jacobian variety is named after Carl Gustav Jacobi, who proved the complete version of the Abel–Jacobi theorem, making the injectivity statement of Niels Abel into an isomorphism. It is a principally polarized abelian variety, of dimension g, and hence, over the complex numbers, it is a complex torus. If p is a point of C, then the curve C can be mapped to a subvariety of J with the given point p mapping to the identity of J, and C generates J as a group.
Алгебралық құрылым
Топ ретінде, қисықтың Якобиандық әртүрлілігі нөлдік дәрежелі бөлгіштер тобының, яғни рационалды функциялардың бөлгіштер тобының фактор-тобына изоморфты. Бұл, егер бөлгіштер мен функциялар сол өріс үстінде анықталған болса, алгебралық жабық емес өрістер үшін де орындалады.
As a group, the Jacobian variety of a curve is isomorphic to the quotient of the group of divisors of degree zero by the subgroup of principal divisors, i. e., divisors of rational functions. This holds for fields that are not algebraically closed, provided one considers divisors and functions defined over that field.
Қосымша түсініктер
Торелли теоремасы күрделі қисықтың оның Якобианы (поляризациясымен бірге) арқылы анықталатынын айтады. Шоттки проблемасы негізгі поляризацияланған абельдік сорттардың қайсысы қисықтардың Якобиандары екенін сұрайды. Пикард сорты, Албания сорты, жалпыланған Якобиан және аралық Якобиандар – жоғары өлшемді сорттар үшін Якобианның жалпылама түрі. Жоғары өлшемді сорттар үшін Якобиан сортын голоморфты 1-формалар кеңістігінің бөлуі ретінде құру Албания сортын береді, бірақ жалпы жағдайда бұл Пикард сортына изоморфты болуы міндетті емес.
Torelli's theorem states that a complex curve is determined by its Jacobian (with its polarization). The Schottky problem asks which principally polarized abelian varieties are the Jacobians of curves. The Picard variety, the Albanese variety, generalized Jacobian, and intermediate Jacobians are generalizations of the Jacobian for higher dimensional varieties. For varieties of higher dimension the construction of the Jacobian variety as a quotient of the space of holomorphic 1 forms generalizes to give the Albanese variety, but in general this need not be isomorphic to the Picard variety.