Введение

В математике, якобианское многообразие J(C) несингулярной алгебраической кривой C рода g является модульным пространством линейных расслоений степени 0. Это связная компонента единицы в группе Пикара кривой C, следовательно, абелево многообразие.

Введение

Якобиева разновидность названа в честь Карла Густава Якоби, который доказал полную версию теоремы Абеля — Якоби, превратив утверждение об инъективности, полученное Нильсом Абелем, в изоморфизм. Это главным образом поляризованная абелева разновидность размерности g, и, следовательно, над комплексными числами, это комплексный тор. Если p — точка на кривой C, то кривую C можно отобразить в подразновидность Якобиева многообразия J, при этом точка p отображается в единичный элемент J, и C порождает J как группу.

Алгебраическая структура

Как группа, якобиан кривой изоморфен факторгруппе группы делителей степени ноль по подгруппе принципиальных делителей, то есть делителей рациональных функций. Это верно для полей, не являющихся алгебраически замкнутыми, при условии рассмотрения делителей и функций, определенных над этим полем.

Дополнительные понятия

Теорема Торелли утверждает, что комплексная кривая определяется своим якобианом (с его поляризацией). Проблема Шоттки спрашивает, какие принципиально поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривых. Многообразие Пикара, албанезево многообразие, обобщенный якобиан и промежуточные якобианы являются обобщениями якобиана для многообразий большей размерности. Для многообразий большей размерности построение якобиана как фактор-пространства пространства голоморфных 1-форм обобщается для получения албанезева многообразия, но в общем случае оно не обязательно изоморфно многообразию Пикара.