Санаттар теориясындағы категориялардың изоморфизмі

Кіріспе

Категориялар теориясындағы категориялардың қатынасы
Категориялар теориясында C және D екі категориясы, егер F: C → D және G: D → C функторлары бір-біріне кері болса, изоморфты болып табылады, яғни FG = 1D (D категориясындағы сәйкестік функторы) және GF = 1C. Бұл C және D категорияларының объектілері мен морфизмдері бір-бірге сәйкес келеді дегенді білдіреді. Екі изоморфты категория барлық қасиеттерін, олар тек категориялар теориясының терминдерімен анықталған, бөліседі; барлық практикалық мақсаттар үшін олар бірдей және тек объектілері мен морфизмдерінің нотациясымен ғана ерекшеленеді. Категориялардың изоморфизмі – өте күшті шарт және практикада сирек орындалады. Категориялардың эквиваленттігі түсінігі әлдеқайда маңызды; шамамен айтқанда, категориялардың эквиваленттігі үшін біз -нің -ға тең болуын талап етпейміз, тек табиғи түрде изоморфты болуын ғана қажет етеміз, және сондай-ақ -нің -ға табиғи түрде изоморфты болуын қажет етеміз.

Мысалдар

G шекті тобын, k өрісін және kG алгебралық тобын қарастырайық. G-дің k сызықтық топтық өкілдіктерінің санаты kG-ге сол жақ модульдер санатына изоморфты. Изоморфизмді былай сипаттауға болады: топтық өкілдік ρ : G → GL(V) берілген, мұнда V – k өрісіндегі векторлық кеңістік, GL(V) – V-нің k сызықтық автоморфизмдерінің тобы, ал ρ – топтық гомоморфизм. Онда V-ді сол жақ kG модуліне айналдырамыз, яғни V-дегі әрбір v және kG-дегі әрбір элемент Σ ag g үшін анықтаймыз. Керісінше, егер M – сол жақ kG модулі болса, онда M – k векторлық кеңістік. G элементі g-мен көбейту M-нің k сызықтық автоморфизмін береді (өйткені g, kG-де инверттелуге қабілетті), бұл G → GL(M) топтық гомоморфизмін сипаттайды. (Тағы да бірнеше нәрсені тексеру қажет: осы екі амалдың екеуі де функторлар, яғни оларды топтық өкілдіктер арасындағы бейнелеулерге немесе kG модульдеріне қолдануға болады, және олар нысандар мен морфизмдер бойынша бір-біріне кері болады). Сондай-ақ қараңыз: Кез келген сақинаны бір ғана нысаны бар преаддитивті категория ретінде қарастыруға болады. Осы категориядан абельдік топтар санатына барлық аддитивті функторлардың функторлық санаты сақинаның үстіндегі сол модульдер санатына изоморфты. Категориялардың тағы бір изоморфизмі Буль алгебраларының теориясында туындайды: Буль алгебраларының санаты Буль сақиналарының санатына изоморфты. Буль алгебрасы B берілген болса, оны симметриялық айырманы қосу ретінде және кездесу амалын көбейту ретінде пайдаланып Буль сақинасына айналдырамыз. Керісінше, егер Буль сақинасы R берілген болса, онда қосылу амалын ab = a + b + ab деп, ал кездесу амалын көбейту деп анықтаймыз. Тағы да, осы екі амалдың екеуі де морфизмдерге кеңейтіліп функторларға айналады, және осы функторлар бір-біріне кері. Егер C – бастапқы нысан s-і бар категория болса, онда кесінді категориясы (s↓C) C-ге изоморфты. Дуальді түрде, егер t – C-дегі терминалдық нысан болса, онда функторлық категория (C↓t) C-ге изоморфты. Сол сияқты, егер 1 – бір нысаны және тек оның өзіндік морфизмі бар категория болса (іс жүзінде, 1 – терминалдық категория), ал C – кез келген категория болса, онда C1 функторлық категориясы, нысандары c: 1 → C функторлары (c∈Ob(C) нысанын таңдап алу) және жебелері осы функторлар арасындағы табиғи түрлендірулер f: c → d (C-дегі f: c → d морфизмін таңдап алу) C-ге изоморфты болады.

Consider a finite group G, a field k and the group algebra kG. The category of k linear group representations of G is isomorphic to the category of left modules over kG. The isomorphism can be described as follows: given a group representation ρ : G → GL(V), where V is a vector space over k, GL(V) is the group of its k linear automorphisms, and ρ is a group homomorphism, we turn V into a left kG module by defining for every v in V and every element Σ ag g in kG. Conversely, given a left kG module M, then M is a k vector space, and multiplication with an element g of G yields a k linear automorphism of M (since g is invertible in kG), which describes a group homomorphism G → GL(M). (There are still several things to check: both these assignments are functors, i. e. they can be applied to maps between group representations resp. kG modules, and they are inverse to each other, both on objects and on morphisms). See also Every ring can be viewed as a preadditive category with a single object. The functor category of all additive functors from this category to the category of abelian groups is isomorphic to the category of left modules over the ring. Another isomorphism of categories arises in the theory of Boolean algebras: the category of Boolean algebras is isomorphic to the category of Boolean rings. Given a Boolean algebra B, we turn B into a Boolean ring by using the symmetric difference as addition and the meet operation as multiplication. Conversely, given a Boolean ring R, we define the join operation by ab = a + b + ab, and the meet operation as multiplication. Again, both of these assignments can be extended to morphisms to yield functors, and these functors are inverse to each other. If C is a category with an initial object s, then the slice category (s↓C) is isomorphic to C. Dually, if t is a terminal object in C, the functor category (C↓t) is isomorphic to C. Similarly, if 1 is the category with one object and only its identity morphism (in fact, 1 is the terminal category), and C is any category, then the functor category C1, with objects functors c: 1 → C, selecting an object c∈Ob(C), and arrows natural transformations f: c → d between these functors, selecting a morphism f: c → d in C, is again isomorphic to C.