Введение

В теории категорий две категории C и D называются изоморфными, если существуют функторы F: C → D и G: D → C, взаимно обратные друг другу, то есть FG = 1D (тождественный функтор на D) и GF = 1C. Это означает, что объекты и морфизмы C и D находятся во взаимно однозначном соответствии. Две изоморфные категории обладают всеми свойствами, которые определяются исключительно терминами теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются лишь обозначениями своих объектов и морфизмов. Изоморфизм категорий – очень сильное условие, которое редко выполняется на практике. Гораздо более важным является понятие эквивалентности категорий; грубо говоря, для эквивалентности категорий мы не требуем, чтобы было равно , а лишь естественно изоморфно , и аналогично, чтобы было естественно изоморфно .

Примеры

Рассмотрим конечную группу G, поле k и групповую алгебру kG. Категория k-линейных групповых представлений G изоморфна категории левых модулей над kG. Изоморфизм можно описать следующим образом: для группового представления ρ : G → GL(V), где V — векторное пространство над k, GL(V) — группа k-линейных автоморфизмов V, а ρ — групповой гомоморфизм, мы превращаем V в левый kG-модуль, определяя действие для каждого v ∈ V и каждого элемента Σ ag g ∈ kG. Обратно, для левого kG-модуля M, M является k-векторным пространством, и умножение на элемент g из G дает k-линейный автоморфизм M (поскольку g обратим в kG), который описывает групповой гомоморфизм G → GL(M). (Остается проверить несколько моментов: оба этих соответствия являются функторами, то есть их можно применять к отображениям между групповыми представлениями и, соответственно, kG-модулями, и они обратимы друг к другу как на объектах, так и на морфизмах). См. также: каждое кольцо можно рассматривать как пред-аддитивную категорию с единственным объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом. Другой изоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр: категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец. Для булевой алгебры B мы превращаем B в булево кольцо, используя симметрическую разность в качестве сложения и операцию meet в качестве умножения. И наоборот, для булева кольца R мы определяем операцию join как ab = a + b + ab, а операцию meet как умножение. Снова, оба этих соответствия можно расширить до морфизмов, чтобы получить функторы, и эти функторы обратимы друг к другу. Если C — категория с начальным объектом s, то фактор-категория (s↓C) изоморфна C. Двойственно, если t — конечный объект в C, то категория функторов (C↓t) изоморфна C. Аналогично, если 1 — категория с одним объектом и только его тождественным морфизмом (фактически, 1 — конечная категория), а C — любая категория, то категория функторов C1, с объектами — функторами c: 1 → C, выбирающими объект c ∈ Ob(C), и стрелками — естественными преобразованиями f: c → d между этими функторами, выбирающими морфизм f: c → d в C, снова изоморфна C.