Екі жақты модульдер және сақиналық әрекеттер үйлесімділігі

Кіріспе

Екі жағынан да үйлесімді сақиналық әрекетпен жабдықталған Абель тобы – абстракт алгебрада, сол және оң модуль болатын, ал сол және оң көбейтулер үйлесімді болатын Абель тобы. Бимодульдер математиканың көптеген салаларында табиғи түрде кездеседі, сонымен қатар, олар түсіндіруші рөл атқарады, себебі сол және оң модульдер арасындағы көптеген қатынастар бимодульдер тұрғысынан қарастырылғанда оңайырақ болады.

Мысалдар

n және m оң бүтін сандар үшін Mn,m(R) жиыны – нақты сандардың n × m матрицалары жиыны, R S бимодулі болып табылады. Мұнда R – n × n матрицалардың Mn(R) сақинасы, ал S – m × m матрицалардың Mm(R) сақинасы. Қосу және көбейту матрицаларды қосу мен көбейтудің қалыпты ережелері бойынша жүргізіледі; матрицалардың биіктігі мен ені көбейтудің дұрыс екенін қамтамасыз ету үшін таңдалған. Mn,m(R) өзі сақина емес екенін ескеріңіз (егер n = m болмаса), себебі n × m матрицаны тағы бір n × m матрицаға көбейту анықталмаған. Бимодульдің маңызды қасиеті – 1 = (r ⋅ x) ⋅ s = r ⋅ (x ⋅ s) – матрица көбейтуінің ассоциативтігін көрсетеді (матрицалық сақина үшін бұл ассоциативтілікке сәйкес келеді). Кез келген A алгебрасы R сақинасы арқылы R бимодулінің табиғи құрылымын иеленеді, оның сол және оң көбейтулері 1 = r ⋅ a = φ(r)a және 1 = a ⋅ r = aφ(r) арқылы анықталады, мұнда φ : R → A – R-дің A-ға канондық енгізілуі. Егер R сақина болса, онда R өзі R R бимодулі ретінде қарастырылуы мүмкін, оның сол және оң әрекеттері көбейту арқылы анықталады – бұл әрекеттер ассоциативтілік арқасында коммутативті. Бұл Rn-ге (R-дің n еселенген тікелей көбейтіндісі) дейін кеңейтілуі мүмкін. R сақинасының кез келген екі жақты идеалы R R бимодулі болып табылады, мұнда сақина көбейтуі сол және оң көбейту ретінде қолданылады. Коммутативті R сақинасы арқылы кез келген модуль бимодульдің табиғи құрылымын иеленеді. Мысалы, егер M сол модуль болса, онда оң жақтан көбейту сол жақтан көбейтумен бірдей деп анықтауға болады. (Дегенмен, барлық R бимодулдары осылай туындамайды: басқа да үйлесімді оң жақ көбейтулер болуы мүмкін.) Егер M сол R модулі болса, онда M – R Z бимодулі, мұнда Z – бүтін сандар сақинасы. Сол сияқты, оң R модульдерін Z R бимодулдері ретінде қарастыруға болады. Кез келген абельдік топ Z Z бимодулі ретінде қарастырылуы мүмкін. Егер M – R оң модулі болса, онда R модуль эндоморфизмдерінің жиыны EndR(M) – композиция арқылы анықталған көбейтумен сақина болып табылады. Эндоморфизм сақинасы EndR(M) M-ге 1 = f ⋅ x = f(x) арқылы анықталған сол жақ көбейту арқылы әсер етеді. Бимодуль қасиеті, яғни 1 = (f ⋅ x) ⋅ r = f ⋅ (x ⋅ r), f – M-ден өзіне R модуль гомоморфизмі екенін көрсетеді. Сондықтан, кез келген оң R модуль M – EndR(M) R бимодулі. Сол сияқты, кез келген сол R модуль N – R EndR(N)op бимодулі болып табылады. Егер R, S сақинасының ішкі сақинасы болса, онда S – R R бимодулі болып табылады. Бұл сонымен қатар R S және S R бимодулдері болып табылады. Егер M – S R бимодулі және N – R T бимодулі болса, онда M ⊗R N – S T бимодулі болып табылады.

For positive integers n and m, the set Mn,m(R) of n × m matrices of real numbers is an R S bimodule, where R is the ring Mn(R) of n × n matrices, and S is the ring Mm(R) of m × m matrices. Addition and multiplication are carried out using the usual rules of matrix addition and matrix multiplication; the heights and widths of the matrices have been chosen so that multiplication is defined. Note that Mn,m(R) itself is not a ring (unless 1=n = m), because multiplying an n × m matrix by another n × m matrix is not defined. The crucial bimodule property, that 1=(r. x). s = r.(x. s), is the statement that multiplication of matrices is associative (which, in the case of a matrix ring, corresponds to associativity). Any algebra A over a ring R has the natural structure of an R bimodule, with left and right multiplication defined by 1=r. a = φ(r)a and 1=a. r = aφ(r) respectively, where φ : R → A is the canonical embedding of R into A. If R is a ring, then R itself can be considered to be an R R bimodule by taking the left and right actions to be multiplication – the actions commute by associativity. This can be extended to Rn (the n fold direct product of R). Any two sided ideal of a ring R is an R R bimodule, with the ring multiplication both as the left and as the right multiplication. Any module over a commutative ring R has the natural structure of a bimodule. For example, if M is a left module, we can define multiplication on the right to be the same as multiplication on the left. (However, not all R bimodules arise this way: other compatible right multiplications may exist.) If M is a left R module, then M is an R Z bimodule, where Z is the ring of integers. Similarly, right R modules may be interpreted as Z R bimodules. Any abelian group may be treated as a Z Z bimodule. If M is a right R module, then the set EndR(M) of R module endomorphisms is a ring with the multiplication given by composition. The endomorphism ring EndR(M) acts on M by left multiplication defined by 1=f. x = f(x). The bimodule property, that 1=(f. x). r = f.(x. r), restates that f is a R module homomorphism from M to itself. Therefore any right R module M is an EndR(M) R bimodule. Similarly any left R module N is an R EndR(N)op bimodule. If R is a subring of S, then S is an R R bimodule. It is also an R S and an S R bimodule. If M is an S R bimodule and N is an R T bimodule, then M ⊗R N is an S T bimodule.