Введение

Абелева группа, снабжённая согласованным кольцевым действием с обеих сторон. В абстрактной алгебре бимодуль — это абелева группа, являющаяся одновременно левым и правым модулем, причём левое и правое умножения согласованы. Помимо естественного возникновения во многих областях математики, бимодули играют проясняющую роль, поскольку многие соотношения между левыми и правыми модулями становятся проще, когда выражены в терминах бимодулей.

Примеры

Для положительных целых чисел n и m множество Mn,m(R) n × m матриц с действительными числами является бимодулем R S, где R – это кольцо Mn(R) n × n матриц, а S – это кольцо Mm(R) m × m матриц. Сложение и умножение выполняются по обычным правилам сложения и умножения матриц; размеры матриц выбраны таким образом, чтобы умножение было определено. Следует отметить, что Mn,m(R) само по себе не является кольцом (если n = m), поскольку умножение n × m матрицы на другую n × m матрицу не определено. Ключевое свойство бимодуля, заключающееся в том, что (r ⋅ x) ⋅ s = r ⋅ (x ⋅ s), является утверждением об ассоциативности умножения матриц (которая, в случае кольца матриц, соответствует ассоциативности). Любая алгебра A над кольцом R имеет естественную структуру R-бимодуля, с левым и правым умножением, определяемыми как r ⋅ a = φ(r)a и a ⋅ r = aφ(r) соответственно, где φ : R → A – каноническое вложение R в A. Если R – кольцо, то само R можно рассматривать как R R-бимодуль, принимая левое и правое действия за умножение – эти действия коммутируют в силу ассоциативности. Это можно расширить до Rn (n-кратного прямого произведения R). Любой двусторонний идеал кольца R является R R-бимодулем, при этом умножение в кольце выступает как в роли левого, так и правого умножения. Любой модуль над коммутативным кольцом R имеет естественную структуру бимодуля. Например, если M – левый модуль, мы можем определить умножение справа как то же самое, что и умножение слева. (Однако не все R-бимодули возникают таким образом: могут существовать другие совместимые правые умножения.) Если M – левый R-модуль, то M является R Z-бимодулем, где Z – кольцо целых чисел. Аналогично, правые R-модули можно интерпретировать как Z R-бимодули. Любую абелеву группу можно рассматривать как Z Z-бимодуль. Если M – правый R-модуль, то множество EndR(M) эндоморфизмов R-модуля является кольцом, умножение в котором задается композицией. Кольцо эндоморфизмов EndR(M) действует на M посредством левого умножения, определяемого как f ⋅ x = f(x). Бимодульное свойство, (f ⋅ x) ⋅ r = f ⋅ (x ⋅ r), перефразирует тот факт, что f является R-модульным гомоморфизмом из M в себя. Следовательно, любой правый R-модуль M является EndR(M) R-бимодулем. Аналогично, любой левый R-модуль N является R EndR(N)op-бимодулем. Если R является подкольцом S, то S является R R-бимодулем. Он также является R S- и S R-бимодулем. Если M – S R-бимодуль, а N – R T-бимодуль, то M ⊗R N является S T-бимодулем.