Кіріспе
Математикалық операция – дифференциалдық геометриядағы кері шегіну операциялары, әсіресе дифференциалдық нысандардың кері шегінуі және тензор (ішкі анықтама).
pullback operations in differential geometry, in particular, the pullback of differential forms and [[tensor (intrinsic definition)
Let be a smooth map between smooth manifolds and Then there is an associated linear map from the space of 1 forms on (the linear space of sections of the cotangent bundle) to the space of 1 forms on This linear map is known as the pullback (by ), and is frequently denoted by More generally, any covariant tensor field – in particular any differential form – on may be pulled back to using
When the map is a diffeomorphism, then the pullback, together with the pushforward, can be used to transform any tensor field from to or vice versa. In particular, if is a diffeomorphism between open subsets of and , viewed as a change of coordinates (perhaps between different charts on a manifold ), then the pullback and pushforward describe the transformation properties of covariant and contravariant tensors used in more traditional (coordinate dependent) approaches to the subject. The idea behind the pullback is essentially the notion of precomposition of one function with another. However, by combining this idea in several different contexts, quite elaborate pullback operations can be constructed. This article begins with the simplest operations, then uses them to construct more sophisticated ones. Roughly speaking, the pullback mechanism (using precomposition) turns several constructions in differential geometry into contravariant functors.
Тегіс көптүрліліктер арасындағы тегіс бейнелеу болсын және сонда 1-нысандар кеңістігінен (котангенттік бундельдің қималарының сызықтық кеңістігі) 1-нысандар кеңістігіне байланысты сызықтық бейнелеу болады. Бұл сызықтық бейнелеу кері шегіну деп аталады (by ) және көбінесе деп белгіленеді. Жалпы алғанда, кез келген ковариантты тензорлық өріс – әсіресе кез келген дифференциалдық форма – бойынша кері шегінуге түсірілуі мүмкін.
pullback operations in differential geometry, in particular, the pullback of differential forms and [[tensor (intrinsic definition)
Let be a smooth map between smooth manifolds and Then there is an associated linear map from the space of 1 forms on (the linear space of sections of the cotangent bundle) to the space of 1 forms on This linear map is known as the pullback (by ), and is frequently denoted by More generally, any covariant tensor field – in particular any differential form – on may be pulled back to using
When the map is a diffeomorphism, then the pullback, together with the pushforward, can be used to transform any tensor field from to or vice versa. In particular, if is a diffeomorphism between open subsets of and , viewed as a change of coordinates (perhaps between different charts on a manifold ), then the pullback and pushforward describe the transformation properties of covariant and contravariant tensors used in more traditional (coordinate dependent) approaches to the subject. The idea behind the pullback is essentially the notion of precomposition of one function with another. However, by combining this idea in several different contexts, quite elaborate pullback operations can be constructed. This article begins with the simplest operations, then uses them to construct more sophisticated ones. Roughly speaking, the pullback mechanism (using precomposition) turns several constructions in differential geometry into contravariant functors.
Егер бейнелеу диффеоморфизм болса, онда кері шегіну, алға жылжытумен бірге, кез келген тензорлық өрісті -ден -ге немесе керісінше түрлендіру үшін қолданылуы мүмкін. Атап айтқанда, егер -ның ашық ішкі жиындары арасындағы диффеоморфизм болса және координаталардың өзгеруі ретінде қарастырылса (мысалы, көптүрліліктегі әртүрлі координаттық жүйелер арасында), онда кері шегіну және алға жылжыту ковариантты және контравариантты тензорлардың трансформациялық қасиеттерін сипаттайды, бұл тақырыпқа дәстүрлі (координатаға тәуелді) тәсілдерде қолданылады. Кері шегіну идеясы негізінде бір функцияны екіншісімен құрастыру болып табылады. Дегенмен, бұл идеяны әртүрлі контекстерде біріктіру арқылы өте күрделі кері шегіну операцияларын құруға болады. Бұл мақалада ең қарапайым операциялар қарастырылады, содан кейін оларды күрделірек операцияларды құру үшін қолданады. Шамамен айтқанда, кері шегіну механизмі (алдын ала құрастыруды пайдалану) дифференциалдық геометриядағы бірнеше құрылымдарды контравариантты функторларға айналдырады.
pullback operations in differential geometry, in particular, the pullback of differential forms and [[tensor (intrinsic definition)
Let be a smooth map between smooth manifolds and Then there is an associated linear map from the space of 1 forms on (the linear space of sections of the cotangent bundle) to the space of 1 forms on This linear map is known as the pullback (by ), and is frequently denoted by More generally, any covariant tensor field – in particular any differential form – on may be pulled back to using
When the map is a diffeomorphism, then the pullback, together with the pushforward, can be used to transform any tensor field from to or vice versa. In particular, if is a diffeomorphism between open subsets of and , viewed as a change of coordinates (perhaps between different charts on a manifold ), then the pullback and pushforward describe the transformation properties of covariant and contravariant tensors used in more traditional (coordinate dependent) approaches to the subject. The idea behind the pullback is essentially the notion of precomposition of one function with another. However, by combining this idea in several different contexts, quite elaborate pullback operations can be constructed. This article begins with the simplest operations, then uses them to construct more sophisticated ones. Roughly speaking, the pullback mechanism (using precomposition) turns several constructions in differential geometry into contravariant functors.
Тегіс функцияларды және тегіс карталарды кері тарту
Жай (немесе тегіс) көптіктер мен арасында тегіс бейнелеу болсын, және деп есептейік. Онда, функциясының бейнелеу арқылы кері тартылуы — көптіктерде анықталған тегіс функция болады, ол келесідей анықталады: . Сол сияқты, егер функциясы көптіктің ашық жиынында тегіс болса, онда дәл сол формула көптіктің ашық жиынында да тегіс функцияны анықтайды. (Шефтер тілінде, кері тартылу — көптіктегі тегіс функциялар шефінен, бейнелеу арқылы алынған көптіктегі тегіс функциялар шефіне морфизмді анықтайды.) Көбірек айтқанда, егер функциясы кез келген басқа көптікке тегіс бейнелеу болса, онда функциясы да көптікке тегіс бейнелеу болады.
Құрамында тораптар мен секциялар бар
Егер - бұл векторлық бумбл (немесе тіпті кез келген талшықты бумбл) үстінде, ал - тегіс бейнелеу болса, онда кері тартылған бумбл - бұл векторлық бумбл (немесе талшықты бумбл) үстінде, оның үстіндегі талшығы арқылы беріледі. Бұл жағдайда, алдын ала құрастыру қималары бойынша кері тартылу операциясын анықтайды: егер - бұл үстіндегі қима болса, онда кері тартылған қима - бұл үстіндегі қима болады.
In this situation, precomposition defines a pullback operation on sections of : if is a section of over , then the pullback section is a section of over .
Көп сызықты формалардың кері тартылуы
Φ: V → W векторлық кеңістіктер V және W арасындағы сызықтық бейнелеу болсын (яғни, Φ – L(V, W) елемі, сондай-ақ Hom(V, W) деп белгіленеді), ал F – W кеңістігіндегі көпсызықты форма (тензор деп те аталады – тензорлық өріспен шатастырылмау керек) (0, s) рангінде, мұнда s – көбейтіндідегі W факторларының саны. Онда F-тің Φ бойынша кері бейнелеуі Φ*F, V кеңістігіндегі көпсызықты форма болып табылады, ол F-ті Φ арқылы алдын ала құрастыру арқылы анықталады. Нақтырақ айтқанда, V кеңістігіндегі v1, v2, ..., vs векторлары берілгенде, Φ*F келесі формуламен анықталады:
be a multilinear form on W (also known as a tensor – not to be confused with a tensor field – of rank (0, s), where s is the number of factors of W in the product). Then the pullback Φ∗F of F by Φ is a multilinear form on V defined by precomposing F with Φ. More precisely, given vectors v1, v2, , vs in V, Φ∗F is defined by the formula
which is a multilinear form on V. Hence Φ∗ is a (linear) operator from multilinear forms on W to multilinear forms on V. As a special case, note that if F is a linear form (or (0,1) tensor) on W, so that F is an element of W∗, the dual space of W, then Φ∗F is an element of V∗, and so pullback by Φ defines a linear map between dual spaces which acts in the opposite direction to the linear map Φ itself:
From a tensorial point of view, it is natural to try to extend the notion of pullback to tensors of arbitrary rank, i. e., to multilinear maps on W taking values in a tensor product of r copies of W, i. e., W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. However, elements of such a tensor product do not pull back naturally: instead there is a pushforward operation from V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V to W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W given by
Nevertheless, it follows from this that if Φ is invertible, pullback can be defined using pushforward by the inverse function Φ−1. Combining these two constructions yields a pushforward operation, along an invertible linear map, for tensors of any rank (r, s).
Бұл V кеңістігіндегі көпсызықты форма. Осылайша, Φ* – W кеңістігіндегі көпсызықты формалардан V кеңістігіндегі көпсызықты формаларға (сызықтық) оператор. Арнайы жағдайда, егер F – W кеңістігіндегі сызықтық форма (немесе (0,1) тензор) болса, яғни F – W* элементі, W-дың жұптас кеңістігі, онда Φ*F – V* элементі болады, сондықтан Φ бойынша кері бейнелеу жұптас кеңістіктер арасындағы сызықтық бейнелеуді анықтайды, ол Φ сызықтық бейнелеуіне кері бағытта әрекет етеді:
be a multilinear form on W (also known as a tensor – not to be confused with a tensor field – of rank (0, s), where s is the number of factors of W in the product). Then the pullback Φ∗F of F by Φ is a multilinear form on V defined by precomposing F with Φ. More precisely, given vectors v1, v2, , vs in V, Φ∗F is defined by the formula
which is a multilinear form on V. Hence Φ∗ is a (linear) operator from multilinear forms on W to multilinear forms on V. As a special case, note that if F is a linear form (or (0,1) tensor) on W, so that F is an element of W∗, the dual space of W, then Φ∗F is an element of V∗, and so pullback by Φ defines a linear map between dual spaces which acts in the opposite direction to the linear map Φ itself:
From a tensorial point of view, it is natural to try to extend the notion of pullback to tensors of arbitrary rank, i. e., to multilinear maps on W taking values in a tensor product of r copies of W, i. e., W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. However, elements of such a tensor product do not pull back naturally: instead there is a pushforward operation from V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V to W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W given by
Nevertheless, it follows from this that if Φ is invertible, pullback can be defined using pushforward by the inverse function Φ−1. Combining these two constructions yields a pushforward operation, along an invertible linear map, for tensors of any rank (r, s).
Тензорлық тұрғыдан алғанда, кері бейнелеу ұғымын кез келген рангідегі тензорларға, яғни W-дағы r көшірмесінің тензорлық көбейтіндісінде мәндерді қабылдайтын W кеңістігіндегі көпсызықты бейнелеулерге кеңейтуге талпыну табиғи. Бірақ, мұндай тензорлық көбейтіндінің элементтері табиғи түрде кері бейнеленбейді: оның орнына V ⊗ V ⊗ ... ⊗ V кеңістігінен W ⊗ W ⊗ ... ⊗ W кеңістігіне берілген келесі итеру операциясы бар:
be a multilinear form on W (also known as a tensor – not to be confused with a tensor field – of rank (0, s), where s is the number of factors of W in the product). Then the pullback Φ∗F of F by Φ is a multilinear form on V defined by precomposing F with Φ. More precisely, given vectors v1, v2, , vs in V, Φ∗F is defined by the formula
which is a multilinear form on V. Hence Φ∗ is a (linear) operator from multilinear forms on W to multilinear forms on V. As a special case, note that if F is a linear form (or (0,1) tensor) on W, so that F is an element of W∗, the dual space of W, then Φ∗F is an element of V∗, and so pullback by Φ defines a linear map between dual spaces which acts in the opposite direction to the linear map Φ itself:
From a tensorial point of view, it is natural to try to extend the notion of pullback to tensors of arbitrary rank, i. e., to multilinear maps on W taking values in a tensor product of r copies of W, i. e., W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. However, elements of such a tensor product do not pull back naturally: instead there is a pushforward operation from V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V to W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W given by
Nevertheless, it follows from this that if Φ is invertible, pullback can be defined using pushforward by the inverse function Φ−1. Combining these two constructions yields a pushforward operation, along an invertible linear map, for tensors of any rank (r, s).
Дегенмен, Φ инверттік болса, кері бейнелеу инверстік функция Φ−1 арқылы итеру операциясын қолдану арқылы анықталады. Бұл екі құрылымды біріктіру кез келген рангідегі (r, s) тензорлар үшін инверттік сызықтық бейнелеу бойынша итеру операциясын береді.
be a multilinear form on W (also known as a tensor – not to be confused with a tensor field – of rank (0, s), where s is the number of factors of W in the product). Then the pullback Φ∗F of F by Φ is a multilinear form on V defined by precomposing F with Φ. More precisely, given vectors v1, v2, , vs in V, Φ∗F is defined by the formula
which is a multilinear form on V. Hence Φ∗ is a (linear) operator from multilinear forms on W to multilinear forms on V. As a special case, note that if F is a linear form (or (0,1) tensor) on W, so that F is an element of W∗, the dual space of W, then Φ∗F is an element of V∗, and so pullback by Φ defines a linear map between dual spaces which acts in the opposite direction to the linear map Φ itself:
From a tensorial point of view, it is natural to try to extend the notion of pullback to tensors of arbitrary rank, i. e., to multilinear maps on W taking values in a tensor product of r copies of W, i. e., W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. However, elements of such a tensor product do not pull back naturally: instead there is a pushforward operation from V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V to W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W given by
Nevertheless, it follows from this that if Φ is invertible, pullback can be defined using pushforward by the inverse function Φ−1. Combining these two constructions yields a pushforward operation, along an invertible linear map, for tensors of any rank (r, s).
Котангентті векторлардың кері тартылуы және 1-формалар
Тегіс манифольдтар арасында тегіс бейнелеу болсын. Онда , немесе деп белгіленетін бейнелеудің дифференциалы – бұл тангенттік бундельден кері тартылған бундельге дейінгі векторлық бундель морфизмі (үстінен ). Сондықтан, бейнелеудің транспозициясы – бұл бундельдік карталау, ол котангенттік бундельге дейін барады. Енді, егер – бұл қимасы (1-формасы) болса, оны арқылы алдын ала құрастырып, кері тартылған қимасын аламыз. Жоғарыдағы бундельдік карталауды (нүкте бойынша) осы қимаға қолдансақ, бойынша кері тартылған 1-форманы аламыз, ол үшін келесідей анықталады:
Now suppose that is a section of (a 1 form on ), and precompose with to obtain a pullback section of Applying the above bundle map (pointwise) to this section yields the pullback of by , which is the 1 form on defined by
мұндағы – ішінде, ал – ішінде.
Автоморфизмдер арқылы кері тарту
Алдыңғы бөлімнің құрылымы, егер φ — көптүрліліктен өзіне диффеоморфизм болса, репрезентациялық теориялық тұрғыдан түсіндіріледі. Бұл жағдайда туынды dφ — бұл қима. Бұл, φ-нің жалпы сызықтық топтың (GL(n, ℝ) мүшесі) бейнелеуі арқылы, көптүрлілік M-нің фрейм шоғырына байланысты кез келген шоқтың қималарына кері әсерін тудырады.
Pullback және Lie туындысы
Ли деривативін қараңыз. Векторлық өріспен анықталған кеңістіктегі диффеоморфизмдердің жергілікті бір параметрлік тобына ескіше идеяларды қолданып, параметр бойынша дифференциалдау арқылы байланысты шоғырға қатысты Ли деривативінің түсінігі алынады.