Введение
Математическая операция
pullback operations in differential geometry, in particular, the pullback of differential forms and [[tensor (intrinsic definition)
Let be a smooth map between smooth manifolds and Then there is an associated linear map from the space of 1 forms on (the linear space of sections of the cotangent bundle) to the space of 1 forms on This linear map is known as the pullback (by ), and is frequently denoted by More generally, any covariant tensor field – in particular any differential form – on may be pulled back to using
When the map is a diffeomorphism, then the pullback, together with the pushforward, can be used to transform any tensor field from to or vice versa. In particular, if is a diffeomorphism between open subsets of and , viewed as a change of coordinates (perhaps between different charts on a manifold ), then the pullback and pushforward describe the transformation properties of covariant and contravariant tensors used in more traditional (coordinate dependent) approaches to the subject. The idea behind the pullback is essentially the notion of precomposition of one function with another. However, by combining this idea in several different contexts, quite elaborate pullback operations can be constructed. This article begins with the simplest operations, then uses them to construct more sophisticated ones. Roughly speaking, the pullback mechanism (using precomposition) turns several constructions in differential geometry into contravariant functors.
Операции обратного отображения в дифференциальной геометрии, в частности, обратное отображение дифференциальных форм и тензора (внутреннее определение).
pullback operations in differential geometry, in particular, the pullback of differential forms and [[tensor (intrinsic definition)
Let be a smooth map between smooth manifolds and Then there is an associated linear map from the space of 1 forms on (the linear space of sections of the cotangent bundle) to the space of 1 forms on This linear map is known as the pullback (by ), and is frequently denoted by More generally, any covariant tensor field – in particular any differential form – on may be pulled back to using
When the map is a diffeomorphism, then the pullback, together with the pushforward, can be used to transform any tensor field from to or vice versa. In particular, if is a diffeomorphism between open subsets of and , viewed as a change of coordinates (perhaps between different charts on a manifold ), then the pullback and pushforward describe the transformation properties of covariant and contravariant tensors used in more traditional (coordinate dependent) approaches to the subject. The idea behind the pullback is essentially the notion of precomposition of one function with another. However, by combining this idea in several different contexts, quite elaborate pullback operations can be constructed. This article begins with the simplest operations, then uses them to construct more sophisticated ones. Roughly speaking, the pullback mechanism (using precomposition) turns several constructions in differential geometry into contravariant functors.
Пусть – гладкое отображение между гладными многообразиями и . Тогда существует ассоциированное линейное отображение из пространства 1-форм на (линейное пространство сечений кокасательного расслоения) в пространство 1-форм на . Это линейное отображение известно как обратное отображение (по ), и часто обозначается . В более общем случае любое ковариантное тензорное поле – в частности, любая дифференциальная форма – на можно перенести на с помощью .
pullback operations in differential geometry, in particular, the pullback of differential forms and [[tensor (intrinsic definition)
Let be a smooth map between smooth manifolds and Then there is an associated linear map from the space of 1 forms on (the linear space of sections of the cotangent bundle) to the space of 1 forms on This linear map is known as the pullback (by ), and is frequently denoted by More generally, any covariant tensor field – in particular any differential form – on may be pulled back to using
When the map is a diffeomorphism, then the pullback, together with the pushforward, can be used to transform any tensor field from to or vice versa. In particular, if is a diffeomorphism between open subsets of and , viewed as a change of coordinates (perhaps between different charts on a manifold ), then the pullback and pushforward describe the transformation properties of covariant and contravariant tensors used in more traditional (coordinate dependent) approaches to the subject. The idea behind the pullback is essentially the notion of precomposition of one function with another. However, by combining this idea in several different contexts, quite elaborate pullback operations can be constructed. This article begins with the simplest operations, then uses them to construct more sophisticated ones. Roughly speaking, the pullback mechanism (using precomposition) turns several constructions in differential geometry into contravariant functors.
Когда отображение является диффеоморфизмом, то обратное отображение, вместе с прямым отображением, может быть использовано для преобразования любого тензорного поля из в или наоборот. В частности, если является диффеоморфизмом между открытыми подмножествами и , рассматриваемым как изменение координат (возможно, между различными картами на многообразии), то обратное отображение и прямое отображение описывают свойства преобразования ковариантных и контравариантных тензоров, используемых в более традиционных (зависящих от координат) подходах к предмету. Идея, лежащая в основе обратного отображения, по сути, является понятием предварительного композирования одной функции с другой. Однако, объединив эту идею в нескольких различных контекстах, можно построить довольно сложные операции обратного отображения. В этой статье мы начнем с простейших операций, а затем используем их для построения более сложных. Грубо говоря, механизм обратного отображения (используя предварительное композирование) превращает несколько конструкций в дифференциальной геометрии в контравариантные функторы.
pullback operations in differential geometry, in particular, the pullback of differential forms and [[tensor (intrinsic definition)
Let be a smooth map between smooth manifolds and Then there is an associated linear map from the space of 1 forms on (the linear space of sections of the cotangent bundle) to the space of 1 forms on This linear map is known as the pullback (by ), and is frequently denoted by More generally, any covariant tensor field – in particular any differential form – on may be pulled back to using
When the map is a diffeomorphism, then the pullback, together with the pushforward, can be used to transform any tensor field from to or vice versa. In particular, if is a diffeomorphism between open subsets of and , viewed as a change of coordinates (perhaps between different charts on a manifold ), then the pullback and pushforward describe the transformation properties of covariant and contravariant tensors used in more traditional (coordinate dependent) approaches to the subject. The idea behind the pullback is essentially the notion of precomposition of one function with another. However, by combining this idea in several different contexts, quite elaborate pullback operations can be constructed. This article begins with the simplest operations, then uses them to construct more sophisticated ones. Roughly speaking, the pullback mechanism (using precomposition) turns several constructions in differential geometry into contravariant functors.
Отзыв гладких функций и гладких карт
Пусть f — гладкое отображение между (гладкими) многообразиями M и N, и предположим, что g — гладкая функция на N. Тогда откат функции g отображением f — это гладкая функция g∘f на M, определяемая формулой g∘f(x) = g(f(x)). Аналогично, если g — гладкая функция на открытом множестве U в N, то та же формула определяет гладкую функцию g∘f на открытом множестве f⁻¹(U) в M. (На языке снопов, откат определяет морфизм от снопа гладких функций на N к прямому образу снопа гладких функций на M, заданному отображением f.) В более общем случае, если f — гладкое отображение из M в любое другое многообразие P, то f* является гладким отображением из P в M.
Отвод пучков и секций
Если – векторное расслоение (или, вообще, любое волокнистое расслоение) над , а – гладкое отображение, то обратное расслоение является векторным расслоением (или волокнистым расслоением) над , причем волокно над точкой в задаётся как . В этой ситуации, предварительное композирование определяет операцию обратного перевода для сечений : если – сечение над , то обратное сечение – сечение над .
In this situation, precomposition defines a pullback operation on sections of : if is a section of over , then the pullback section is a section of over .
Откат многолинейных форм
Пусть Φ: V → W — линейное отображение между векторными пространствами V и W (т. е. Φ является элементом L(V, W), также обозначаемым Hom(V, W)), и пусть F — многолинейная форма на W (также известная как тензор, не путать с тензорным полем ранга (0, s), где s — число сомножителей W в произведении). Тогда откат Φ∗F формы F посредством Φ — это многолинейная форма на V, определяемая посредством предварительного композирования F с Φ. Более точно, для векторов v1, v2, ..., vs из V, Φ∗F определяется формулой
be a multilinear form on W (also known as a tensor – not to be confused with a tensor field – of rank (0, s), where s is the number of factors of W in the product). Then the pullback Φ∗F of F by Φ is a multilinear form on V defined by precomposing F with Φ. More precisely, given vectors v1, v2, , vs in V, Φ∗F is defined by the formula
which is a multilinear form on V. Hence Φ∗ is a (linear) operator from multilinear forms on W to multilinear forms on V. As a special case, note that if F is a linear form (or (0,1) tensor) on W, so that F is an element of W∗, the dual space of W, then Φ∗F is an element of V∗, and so pullback by Φ defines a linear map between dual spaces which acts in the opposite direction to the linear map Φ itself:
From a tensorial point of view, it is natural to try to extend the notion of pullback to tensors of arbitrary rank, i. e., to multilinear maps on W taking values in a tensor product of r copies of W, i. e., W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. However, elements of such a tensor product do not pull back naturally: instead there is a pushforward operation from V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V to W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W given by
Nevertheless, it follows from this that if Φ is invertible, pullback can be defined using pushforward by the inverse function Φ−1. Combining these two constructions yields a pushforward operation, along an invertible linear map, for tensors of any rank (r, s).
, которая является многолинейной формой на V. Следовательно, Φ∗ — (линейный) оператор из множества многолинейных форм на W в множество многолинейных форм на V. В качестве частного случая заметим, что если F — линейная форма (или (0,1)-тензор) на W, то есть F является элементом W∗, двойственного пространства W, то Φ∗F является элементом V∗, и, следовательно, откат посредством Φ определяет линейное отображение между двойственными пространствами, действующее в направлении, противоположном линейному отображению Φ:
be a multilinear form on W (also known as a tensor – not to be confused with a tensor field – of rank (0, s), where s is the number of factors of W in the product). Then the pullback Φ∗F of F by Φ is a multilinear form on V defined by precomposing F with Φ. More precisely, given vectors v1, v2, , vs in V, Φ∗F is defined by the formula
which is a multilinear form on V. Hence Φ∗ is a (linear) operator from multilinear forms on W to multilinear forms on V. As a special case, note that if F is a linear form (or (0,1) tensor) on W, so that F is an element of W∗, the dual space of W, then Φ∗F is an element of V∗, and so pullback by Φ defines a linear map between dual spaces which acts in the opposite direction to the linear map Φ itself:
From a tensorial point of view, it is natural to try to extend the notion of pullback to tensors of arbitrary rank, i. e., to multilinear maps on W taking values in a tensor product of r copies of W, i. e., W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. However, elements of such a tensor product do not pull back naturally: instead there is a pushforward operation from V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V to W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W given by
Nevertheless, it follows from this that if Φ is invertible, pullback can be defined using pushforward by the inverse function Φ−1. Combining these two constructions yields a pushforward operation, along an invertible linear map, for tensors of any rank (r, s).
С точки зрения тензорного исчисления, естественно попытаться расширить понятие отката на тензоры произвольного ранга, то есть на многолинейные отображения на W, принимающие значения в тензорном произведении r копий W, то есть W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. Однако элементы такого тензорного произведения не оттягиваются естественным образом: вместо этого существует операция прямого преобразования (pushforward) из V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V в W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W, задаваемая формулой
be a multilinear form on W (also known as a tensor – not to be confused with a tensor field – of rank (0, s), where s is the number of factors of W in the product). Then the pullback Φ∗F of F by Φ is a multilinear form on V defined by precomposing F with Φ. More precisely, given vectors v1, v2, , vs in V, Φ∗F is defined by the formula
which is a multilinear form on V. Hence Φ∗ is a (linear) operator from multilinear forms on W to multilinear forms on V. As a special case, note that if F is a linear form (or (0,1) tensor) on W, so that F is an element of W∗, the dual space of W, then Φ∗F is an element of V∗, and so pullback by Φ defines a linear map between dual spaces which acts in the opposite direction to the linear map Φ itself:
From a tensorial point of view, it is natural to try to extend the notion of pullback to tensors of arbitrary rank, i. e., to multilinear maps on W taking values in a tensor product of r copies of W, i. e., W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. However, elements of such a tensor product do not pull back naturally: instead there is a pushforward operation from V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V to W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W given by
Nevertheless, it follows from this that if Φ is invertible, pullback can be defined using pushforward by the inverse function Φ−1. Combining these two constructions yields a pushforward operation, along an invertible linear map, for tensors of any rank (r, s).
. Тем не менее, из этого следует, что если Φ обратимо, откат можно определить с помощью прямого преобразования посредством обратной функции Φ−1. Комбинируя эти две конструкции, получаем операцию прямого преобразования вдоль обратимого линейного отображения для тензоров любого ранга (r, s).
be a multilinear form on W (also known as a tensor – not to be confused with a tensor field – of rank (0, s), where s is the number of factors of W in the product). Then the pullback Φ∗F of F by Φ is a multilinear form on V defined by precomposing F with Φ. More precisely, given vectors v1, v2, , vs in V, Φ∗F is defined by the formula
which is a multilinear form on V. Hence Φ∗ is a (linear) operator from multilinear forms on W to multilinear forms on V. As a special case, note that if F is a linear form (or (0,1) tensor) on W, so that F is an element of W∗, the dual space of W, then Φ∗F is an element of V∗, and so pullback by Φ defines a linear map between dual spaces which acts in the opposite direction to the linear map Φ itself:
From a tensorial point of view, it is natural to try to extend the notion of pullback to tensors of arbitrary rank, i. e., to multilinear maps on W taking values in a tensor product of r copies of W, i. e., W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. However, elements of such a tensor product do not pull back naturally: instead there is a pushforward operation from V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V to W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W given by
Nevertheless, it follows from this that if Φ is invertible, pullback can be defined using pushforward by the inverse function Φ−1. Combining these two constructions yields a pushforward operation, along an invertible linear map, for tensors of any rank (r, s).
Откат котангентных векторов и 1-форм
Пусть — гладкое отображение между гладкими многообразиями. Тогда дифференциал , записываемый , или , является морфизмом векторного расслоения (над ) из тангенциального расслоения в обратное расслоение . Транспонирование является, следовательно, отображением расслоения из в , котангенциальное расслоение .
Now suppose that is a section of (a 1 form on ), and precompose with to obtain a pullback section of Applying the above bundle map (pointwise) to this section yields the pullback of by , which is the 1 form on defined by
for in and in .
Теперь предположим, что — сечение (1-форма на ), и выполним предкомпозицию с , чтобы получить обратное сечение из . Применение вышеуказанного отображения расслоения (поточечно) к этому сечению дает обратное отображение , которое является 1-формой на , определяемой
Now suppose that is a section of (a 1 form on ), and precompose with to obtain a pullback section of Applying the above bundle map (pointwise) to this section yields the pullback of by , which is the 1 form on defined by
for in and in .
для из и из .
Now suppose that is a section of (a 1 form on ), and precompose with to obtain a pullback section of Applying the above bundle map (pointwise) to this section yields the pullback of by , which is the 1 form on defined by
for in and in .
Откат автоморфизмами
Конструкция предыдущего раздела имеет теоретико-представительное толкование, когда φ является диффеоморфизмом из многообразия M в себя. В этом случае производная dφ является сечением TM. Это индуцирует действие оттягивания на сечениях любого расслоения, ассоциированного с расслоением касательных кадров FM посредством представления общей линейной группы GL(n, ℝ) (где n = dim M).
Подразделение на Pullback и Lie
См. производную Ли. Применяя описанные выше идеи к локальной однопараметрической группе диффеоморфизмов, определяемой векторным полем на , и дифференцируя по параметру, можно получить понятие производной Ли на любом ассоциированном расслоении.