Кіріспе
Коммутативтік алгебрада, тұрақты тізбек – коммутативтік сақина элементтерінің, белгілі бір мағынада, мүмкіндігінше тәуелсіз тізбегі. Бұл толық қиылыстың геометриялық ұғымының алгебралық аналогы.
Анықтамалар
Коммутативті R сақинасы және R модулі үшін M, R элементі M-де нөлдік бөлгіш емес деп аталады, егер r m = 0 болса, онда M-де m = 0 екенін білдіреді. M тұрақты тізбегі – R-дегі r1, …, rd тізбегі, мұндағы ri, i = 1, …, d үшін M/(r1, …, ri-1)M-де нөлдік бөлгіш емес. Кейбір авторлар сондай-ақ M/(r1, …, rd)M нөл емес болуын талап етеді. Интуитивті түрде r1, …, rd – M тұрақты тізбегі дегеніміз, бұл элементтер M-ді M/(r1)M-ге, M/(r1, r2)M-ге және т.б. бірінен соң бірі өтетін кезде мүмкіндігінше "қысқартады". R тұрақты тізбегін жай ғана тұрақты тізбек деп атайды. Яғни, r1, …, rd тұрақты тізбек болады, егер r1 R-де нөлдік бөлгіш емес болса, r2 R/(r1) сақинасында нөлдік бөлгіш емес болса, және т.б. Геометриялық тілде, егер X аффиндік схема болса және r1, …, rd X-тегі тұрақты функциялар сақинасындағы тұрақты тізбек болса, онда біз жабық қосалқы схема {r1=0, …, rd=0} ⊂ X, X-тің толық қиылыс қосалқы схемасы дейміз. Тұрақты тізбектің элементтерінің ретіне байланысты болуы мүмкін. Мысалы, x, y(1-x), z(1-x) – C[x, y, z] полиномиялық сақинасындағы тұрақты тізбек, ал y(1-x), z(1-x), x – тұрақты тізбек емес. Бірақ егер R – ноэтериандық жергілікті сақина болса және ri элементтері максималдық идеалда болса немесе R – дәрежелі сақина болса және ri оң дәрежелі гомогенді болса, онда тұрақты тізбектің кез келген өзгерісі тұрақты тізбек болып табылады. R ноэтериандық сақина, I – R-дегі идеал, ал M – шекті түрде туындыланған R модулі болсын. I-нің M-дегі тереңдігі, depthR(I, M) немесе жай ғана depth(I, M) деп жазылады, I элементтерінің барлық M тұрақты тізбегінің ұзындығының жоғарғы шегі. R ноэтериандық жергілікті сақина болса және M – шекті түрде туындыланған R модулі болса, M тереңдігі, depthR(M) немесе жай ғана depth(M) деп жазылады, depthR(m, M) дегенді білдіреді; яғни ол R-дің максималдық идеалдағы барлық M тұрақты тізбегінің ұзындығының жоғарғы шегі. Атап айтқанда, R ноэтериандық жергілікті сақинасының тереңдігі R-дің R модулі ретінде тереңдігін білдіреді. Яғни, R тереңдігі – максималдық идеалдағы тұрақты тізбектің ең үлкен ұзындығы. Ноэтериандық жергілікті сақина R үшін нөлдік модульдің тереңдігі ∞, ал нөлдік емес шекті түрде туындыланған R модулінің тереңдігі M ең көп дегенде M-нің Крулл өлшемі (сонымен қатар M-нің таяныш өлшемі деп аталады).
r1, , rd in R
such that ri is a not a zero divisor on M/(r1, , ri 1)M for i = 1, , d. Some authors also require that M/(r1, , rd)M is not zero. Intuitively, to say that
r1, , rd is an M regular sequence means that these elements "cut M down" as much as possible, when we pass successively from M to M/(r1)M, to M/(r1, r2)M, and so on. An R regular sequence is called simply a regular sequence. That is, r1, , rd is a regular sequence if r1 is a non zero divisor in R, r2 is a non zero divisor in the ring R/(r1), and so on. In geometric language, if X is an affine scheme and r1, , rd is a regular sequence in the ring of regular functions on X, then we say that the closed subscheme {r1=0, , rd=0} ⊂ X is a complete intersection subscheme of X. Being a regular sequence may depend on the order of the elements. For example, x, y(1 x), z(1 x) is a regular sequence in the polynomial ring C[x, y, z], while y(1 x), z(1 x), x is not a regular sequence. But if R is a Noetherian local ring and the elements ri are in the maximal ideal, or if R is a graded ring and the ri are homogeneous of positive degree, then any permutation of a regular sequence is a regular sequence. Let R be a Noetherian ring, I an ideal in R, and M a finitely generated R module. The depth of I on M, written depthR(I, M) or just depth(I, M), is the supremum of the lengths of all M regular sequences of elements of I. When R is a Noetherian local ring and M is a finitely generated R module, the depth of M, written depthR(M) or just depth(M), means depthR(m, M); that is, it is the supremum of the lengths of all M regular sequences in the maximal ideal m of R. In particular, the depth of a Noetherian local ring R means the depth of R as a R module. That is, the depth of R is the maximum length of a regular sequence in the maximal ideal. For a Noetherian local ring R, the depth of the zero module is ∞, whereas the depth of a nonzero finitely generated R module M is at most the Krull dimension of M (also called the dimension of the support of M).
Мысалдар
Интегралды доменді қарастыра отырып, кез келген нөлдік емес элемент тұрақты тізбек құрайды. p жай саны үшін, жергілікті сақина Z(p) – бұл рационал сандардың ішкі сақинасы, оның бөлшектерінің бөлімі p-нің еселігіне бөлінбейді. p элементі Z(p)-де нөлдік емес бөлгіш болып табылады, ал p-ден туындаған идеал бойынша Z(p) сақинасының бөлігі Z/(p) өрісі болып табылады. Сондықтан p максималды идеалдағы (p) ұзақ тұрақты тізбекке кеңейтілмейді, және шын мәнінде жергілікті сақина Z(p)-нің тереңдігі 1-ге тең. Кез келген k өрісі үшін A = k[x1, …, xn] полиномдық сақинасындағы x1, …, xn элементтері тұрақты тізбек құрайды. Осыдан, A-ның m = (x1, …, xn) максималды идеал бойынша R локализациясының тереңдігі кем дегенде n-ге тең екендігі шығады. Шын мәнінде, R-дің тереңдігі n-ге тең; яғни, максималды идеалдағы n-ден үлкен ұзындығы бар тұрақты тізбек жоқ. Көбірек жалпылап айтқанда, R максималды идеал m-ге ие тұрақты жергілікті сақина болсын. Содан кейін m-нің кез келген r1, …, rd элементтері, R/m векторлық кеңістігі ретінде m/m2 үшін негіз құрайтын элементтерге өтеді және тұрақты тізбек құрайды. Маңызды жағдай – жергілікті сақинаның тереңдігі R оның Крулл өлшеміне тең болғанда: онда R Коэн-Маколей сақинасы деп аталады. Көрсетілген үш мысалдың барлығы Коэн-Маколей сақиналары. Сол сияқты, шекті түрде жасалған R модуль M, егер оның тереңдігі оның өлшеміне тең болса, Коэн-Маколей деп аталады.
More generally, let R be a regular local ring with maximal ideal m. Then any elements r1, , rd of m which map to a basis for m/m2 as an R/m vector space form a regular sequence. An important case is when the depth of a local ring R is equal to its Krull dimension: R is then said to be Cohen Macaulay. The three examples shown are all Cohen Macaulay rings. Similarly, a finitely generated R module M is said to be Cohen Macaulay if its depth equals its dimension.