Введение
В коммутативной алгебре регулярная последовательность — это последовательность элементов коммутативного кольца, которые в некотором точном смысле максимально независимы друг от друга. Это алгебраический аналог геометрического понятия полного пересечения.
Определения
Для коммутативного кольца R и R-модуля M элемент r из R называется ненулевым делителем на M, если r m = 0 влечет за собой m = 0 для m из M. M-регулярная последовательность — это последовательность r1, …, rd в R, такая, что ri не является ненулевым делителем в M/(r1, …, ri-1)M для i = 1, …, d. Некоторые авторы также требуют, чтобы M/(r1, …, rd)M было не равно нулю. Интуитивно, говорить, что r1, …, rd является M-регулярной последовательностью, означает, что эти элементы «уменьшают M» настолько, насколько это возможно, когда мы последовательно переходим от M к M/(r1)M, затем к M/(r1, r2)M и так далее. R-регулярная последовательность называется просто регулярной последовательностью. То есть, r1, …, rd является регулярной последовательностью, если r1 — ненулевой делитель в R, r2 — ненулевой делитель в кольце R/(r1), и так далее. На геометрическом языке, если X — аффинная схема и r1, …, rd — регулярная последовательность в кольце регулярных функций на X, то мы говорим, что замкнутая подсхема {r1=0, …, rd=0} ⊂ X является полной подсхемой пересечения в X. Быть регулярной последовательностью может зависеть от порядка элементов. Например, x, y(1-x), z(1-x) является регулярной последовательностью в кольце многочленов C[x, y, z], в то время как y(1-x), z(1-x), x не является регулярной последовательностью. Но если R — локальное кольцо Ноэтера и элементы ri находятся в максимальном идеале, или если R — градуированное кольцо и ri однородны положительной степени, то любая перестановка регулярной последовательности является регулярной последовательностью. Пусть R — кольцо Ноэтера, I — идеал в R, а M — конечно порожденный R-модуль. Глубина I на M, обозначаемая depthR(I, M) или просто depth(I, M), — это супремум длин всех M-регулярных последовательностей элементов из I. Когда R — локальное кольцо Ноэтера и M — конечно порожденный R-модуль, глубина M, обозначаемая depthR(M) или просто depth(M), означает depthR(m, M); то есть, это супремум длин всех M-регулярных последовательностей в максимальном идеале m из R. В частности, глубина локального кольца Ноэтера R означает глубину R как R-модуля. То есть, глубина R — это максимальная длина регулярной последовательности в максимальном идеале. Для ноэтерианского локального кольца R глубина нулевого модуля равна ∞, в то время как глубина ненулевого конечно порожденного R-модуля M не превосходит размерность Крулла M (также называемую размерностью носителя M).
r1, , rd in R
such that ri is a not a zero divisor on M/(r1, , ri 1)M for i = 1, , d. Some authors also require that M/(r1, , rd)M is not zero. Intuitively, to say that
r1, , rd is an M regular sequence means that these elements "cut M down" as much as possible, when we pass successively from M to M/(r1)M, to M/(r1, r2)M, and so on. An R regular sequence is called simply a regular sequence. That is, r1, , rd is a regular sequence if r1 is a non zero divisor in R, r2 is a non zero divisor in the ring R/(r1), and so on. In geometric language, if X is an affine scheme and r1, , rd is a regular sequence in the ring of regular functions on X, then we say that the closed subscheme {r1=0, , rd=0} ⊂ X is a complete intersection subscheme of X. Being a regular sequence may depend on the order of the elements. For example, x, y(1 x), z(1 x) is a regular sequence in the polynomial ring C[x, y, z], while y(1 x), z(1 x), x is not a regular sequence. But if R is a Noetherian local ring and the elements ri are in the maximal ideal, or if R is a graded ring and the ri are homogeneous of positive degree, then any permutation of a regular sequence is a regular sequence. Let R be a Noetherian ring, I an ideal in R, and M a finitely generated R module. The depth of I on M, written depthR(I, M) or just depth(I, M), is the supremum of the lengths of all M regular sequences of elements of I. When R is a Noetherian local ring and M is a finitely generated R module, the depth of M, written depthR(M) or just depth(M), means depthR(m, M); that is, it is the supremum of the lengths of all M regular sequences in the maximal ideal m of R. In particular, the depth of a Noetherian local ring R means the depth of R as a R module. That is, the depth of R is the maximum length of a regular sequence in the maximal ideal. For a Noetherian local ring R, the depth of the zero module is ∞, whereas the depth of a nonzero finitely generated R module M is at most the Krull dimension of M (also called the dimension of the support of M).
Примеры
При наличии интегральной области любой ненулевой элемент порождает регулярную последовательность. Для простого числа p локальное кольцо Z(p) является подкольцом рациональных чисел, состоящим из дробей, знаменатель которых не делится на p. Элемент p является ненулевым делителем в Z(p), а факторкольцо Z(p) по идеалу, порожденному p, является полем Z/(p). Следовательно, p нельзя расширить до более длинной регулярной последовательности в максимальном идеале (p), и, фактически, локальное кольцо Z(p) имеет глубину 1. Для любого поля k элементы x1, ..., xn в кольце многочленов A = k[x1, ..., xn] образуют регулярную последовательность. Отсюда следует, что локализация R кольца A по максимальному идеалу m = (x1, ..., xn) имеет глубину не меньше n. В действительности, R имеет глубину, равную n; то есть, в максимальном идеале не существует регулярной последовательности длины, большей n. В более общем случае, пусть R – регулярное локальное кольцо с максимальным идеалом m. Тогда любые элементы r1, ..., rd из m, которые отображаются на базис m/m² как векторное пространство над R/m, образуют регулярную последовательность. Важным случаем является ситуация, когда глубина локального кольца R равна его размерности Крулля: в этом случае R называется кольцом Коэна-Маколея. Все три приведенных примера являются кольцами Коэна-Маколея. Аналогично, конечно порожденный модуль R M называется кольцом Коэна-Маколея, если его глубина равна его размерности.
More generally, let R be a regular local ring with maximal ideal m. Then any elements r1, , rd of m which map to a basis for m/m2 as an R/m vector space form a regular sequence. An important case is when the depth of a local ring R is equal to its Krull dimension: R is then said to be Cohen Macaulay. The three examples shown are all Cohen Macaulay rings. Similarly, a finitely generated R module M is said to be Cohen Macaulay if its depth equals its dimension.