Жайындаған таралу және маргиналды айнымалылар

Кіріспе

Ықтималдық пен статистиканың аспектісі

Ықтималдық теориясы мен статистикада, кездейсоқ айнымалылар жиынтығының ішкі жиынының шекті үлестірілімі – бұл аталған ішкі жиынға кіретін айнымалылардың ықтималдық үлестірімі. Ол басқа айнымалылардың мәндеріне қарамастан, ішкі жиынның айнымалыларының әртүрлі мәндерінің ықтималдықтарын көрсетеді. Бұл, басқа айнымалылардың мәндеріне байланысты ықтималдықтарды беретін шартты үлестірілімнен өзгеше. Шекаралық айнымалылар – бұл сақталатын айнымалылар жиынындағы айнымалылар. Бұл түсініктер «шекаралық» деп аталады, себебі оларды кестедегі мәндерді қатарлар немесе бағандар бойынша қосып, сомасын кесте шетіне жазу арқылы табуға болады. Шекаралық айнымалылардың үлестірілімі (шекті үлестірілім) – жойылған айнымалылардың үлестіріліміне қатысты шекаралық (яғни, шеттегі сомаларға назар аудару) арқылы алынады, ал жойылған айнымалылар «шетке шығарылған» деп есептеледі. Мұндағы мән-жай мынадай: жүргізіліп жатқан теориялық зерттеулер немесе деректерді талдау кең ауқымды кездейсоқ айнымалылар жиынтығын қамтиды, бірақ назар бірнеше айнымалыларға ғана шоғырландырылады. Көптеген жағдайларда талдау белгілі бір кездейсоқ айнымалылар жиынтығынан басталып, кейіннен жаңа айнымалыларды анықтау арқылы (мысалы, бастапқы кездейсоқ айнымалылардың қосындысы) жиынтықты кеңейтеді, содан соң қызығушылықты ішкі жиынның шекті үлестіріліміне (мысалы, қосынды) аудару арқылы айнымалылар санын азайтады. Әр түрлі айнымалылар жиынтығын шекті үлестірілім ретінде қарастыратын бірнеше талдаулар жүргізілуі мүмкін.

Шекті ықтималдық тығыздық функциясы

Екі үздіксіз кездейсоқ шамалар X және Y берілген, олардың бірлескен ықтималдық тығыздығы белгілі болса, шекті ықтималдық тығыздық функциясын бірлескен ықтималдық тығыздығын, f-ты Y бойынша интегралдау арқылы, немесе керісінше алуға болады. Яғни:

мұнда , және .

Нақты мысал

Жолды жаяу өткелінен өтіп бара жатқанда, жол-көлік қозғалысына назар аудармай, жаяу жүргіншіге көлік соғылуының ықтималдығын есептеу керек делік. H {Соқтығысты, Соқтығыс жоқ} жиынынан бір мән қабылдайтын дискретті кездейсоқ айнымалы болсын. L (светофор үшін) {Қызыл, сары, жасыл} жиынынан бір мән қабылдайтын дискретті кездейсоқ айнымалы болсын. Нақты жағдайда, H, L-ге тәуелді болады. Яғни, P(H = Соқтығысты) L қызыл, сары немесе жасыл болған жағдайға қарай әртүрлі мәндер қабылдайды (сондай-ақ P(H = Соқтығыс жоқ) үшін де осылай). Мысалы, адам перпендикуляр қозғалысқа арналған светофор жасыл болғанда, қызыл болғанға қарағанда көлік соғып кетуіне әлдеқайда көп мүмкіндік бар. Басқаша айтқанда, H және L үшін кез келген мүмкін мәндер жұбы үшін H және L-дің бірлескен ықтималдық үлестірілімін қарастыру қажет, егер жаяу жүргінші светофордың күйін елемейтін болса, осы оқиғалардың жұбының бірге орын алу ықтималдығын табу үшін. Дегенмен, шекті ықтималдық P(H = Соқтығысты) есептегенде, ізделіп отырғаны – L-дің нақты мәні белгісіз және жаяу жүргінші светофордың күйін елемейтін жағдайда H = Соқтығысты ықтималдығы. Жалпы, жаяу жүргінші қызыл светофорда немесе сары светофорда немесе жасыл светофорда соқтығысқа ұшырауы мүмкін. Сондықтан, шекті ықтималдықтың жауабын табу үшін L-дің барлық мүмкін мәндері үшін P(H|L) қосу арқылы табуға болады, мұнда L-дің әрбір мәні оның орын алу ықтималдығымен салмақталады. Төменде светофордың күйіне байланысты соқтығысқа ұшыраудың шартты ықтималдығын көрсететін кесте келтірілген. (Еске сала кетейік, осы кестедегі бағандардың қосындысы 1-ге тең болуы керек, өйткені светофордың күйіне қарамастан, соқтығысқа ұшырау немесе ұшырамау ықтималдығы 1-ге тең). + Шартты үлестірілім: Қызыл Сары Жасыл Соқтығыс жоқ 0.99 0.9 0.2 Соқтығысты 0.01 0.1 0.8 Бірлескен ықтималдық үлестірілімін табу үшін қосымша деректер қажет. Мысалы, P(L = қызыл) = 0.2, P(L = сары) = 0.1 және P(L = жасыл) = 0.7 делік. Шартты үлестірілімдегі әрбір бағанды осы бағанның орын алу ықтималдығымен көбейту H және L-дің бірлескен ықтималдық үлестірілімін береді, ол 2×3 блокта көрсетілген. (Еске сала кетейік, осы 2×3 блоктағы жасушалардың қосындысы 1-ге тең). + Бірлескен үлестірілім: P(H,L) Қызыл Сары Жасыл Шегі P(H) Соқтығыс жоқ 0.198 0.09 0.14 0.428 Соқтығысты 0.002 0.01 0.56 0.572 Барлығы 0.2 0.1 0.7 1 Шегі P(H = Соқтығысты) осы бірлескен үлестірілім кестесіндегі H = Соқтығысты қатарындағы 0.572 сомасына тең, өйткені бұл светофорлар қызыл немесе сары немесе жасыл болған кезде соқтығысқа ұшырау ықтималдығы. Сол сияқты, P(H = Соқтығыс жоқ) шекті ықтималдығы H = Соқтығыс жоқ қатарындағы сомаға тең.

Suppose that the probability that a pedestrian will be hit by a car, while crossing the road at a pedestrian crossing, without paying attention to the traffic light, is to be computed. Let H be a discrete random variable taking one value from {Hit, Not Hit}. Let L (for traffic light) be a discrete random variable taking one value from {Red, Yellow, Green}. Realistically, H will be dependent on L. That is, P(H = Hit) will take different values depending on whether L is red, yellow or green (and likewise for P(H = Not Hit)). A person is, for example, far more likely to be hit by a car when trying to cross while the lights for perpendicular traffic are green than if they are red. In other words, for any given possible pair of values for H and L, one must consider the joint probability distribution of H and L to find the probability of that pair of events occurring together if the pedestrian ignores the state of the light. However, in trying to calculate the marginal probability P(H = Hit), what is being sought is the probability that H = Hit in the situation in which the particular value of L is unknown and in which the pedestrian ignores the state of the light. In general, a pedestrian can be hit if the lights are red OR if the lights are yellow OR if the lights are green. So, the answer for the marginal probability can be found by summing P(H | L) for all possible values of L, with each value of L weighted by its probability of occurring. Here is a table showing the conditional probabilities of being hit, depending on the state of the lights. (Note that the columns in this table must add up to 1 because the probability of being hit or not hit is 1 regardless of the state of the light.) + Conditional distribution: RedYellowGreen Not Hit 0.99 0.9 0.2 Hit 0.01 0.1 0.8

To find the joint probability distribution, more data is required. For example, suppose P(L = red) = 0.2, P(L = yellow) = 0.1, and P(L = green) = 0.7. Multiplying each column in the conditional distribution by the probability of that column occurring results in the joint probability distribution of H and L, given in the central 2×3 block of entries. (Note that the cells in this 2×3 block add up to 1). + Joint distribution: P(H,L) RedYellowGreenMarginal probability P(H) Not Hit 0.198 0.09 0.14 0.428 Hit 0.002 0.01 0.56 0.572 Total 0.2 0.1 0.7 1

The marginal probability P(H = Hit) is the sum 0.572 along the H = Hit row of this joint distribution table, as this is the probability of being hit when the lights are red OR yellow OR green. Similarly, the marginal probability that P(H = Not Hit) is the sum along the H = Not Hit row.