Введение

Фрактальная кривая

Снежинка Коха (также известная как кривая Коха, звезда Коха или остров Коха) — это фрактальная кривая и один из самых ранних фракталов, которые были описаны. Она основана на кривой Коха, представленной в статье 1904 года шведского математика Хельге фон Коха под названием «О непрерывной кривой без касательных, построимой с помощью элементарной геометрии». Снежинка Коха строится итеративно, в последовательности этапов. Первый этап — это равносторонний треугольник, а каждый последующий этап формируется путём добавления выступов наружу к каждой стороне предыдущего этапа, создавая более мелкие равносторонние треугольники. Площади, заключённые последовательными этапами построения снежинки, сходятся к площади, в 8/3 раза превышающей площадь исходного треугольника, в то время как периметры последовательных этапов неограниченно возрастают. Следовательно, снежинка охватывает конечную площадь, но имеет бесконечный периметр. Снежинка Коха была создана как пример непрерывной кривой, для которой невозможно провести касательную линию в любой её точке. В отличие от более ранней функции Вейерштрасса, где доказательство было чисто аналитическим, снежинка Коха была разработана таким образом, чтобы её можно было геометрически представить в то время, чтобы это свойство можно было увидеть и с помощью «наивной интуиции».

Другие свойства

Снежинка Коха самовоспроизводится, при этом шесть меньших копий окружают одну большую копию в центре. Следовательно, это плитка типа irrep 7 (см. статью «Реп-плитки» для обсуждения). Фрактальная размерность кривой Коха равна [значение]. Она больше, чем у прямой линии, но меньше, чем у кривой Пеано, заполняющей пространство. Невозможно провести касательную линию к какой-либо точке кривой.

Представление как де-Рамовская кривая

Кривая Коха возникает как частный случай кривой де Рама. Кривые де Рама — это отображения пространства Кантора на плоскость, как правило, расположенные таким образом, чтобы образовывать непрерывную кривую. Каждая точка на непрерывной кривой де Рама соответствует действительному числу в единичном интервале. Для кривой Коха вершины снежинки соответствуют диическим рациональным числам: каждую вершину можно однозначно обозначить отдельным диическим рациональным числом.

Тесселяция плоскости

Возможно покрыть плоскость копиями снежинок Коха двух разных размеров. Однако такое покрытие невозможно, используя только снежинки одного размера. Поскольку каждая снежинка Коха в покрытии может быть разделена на семь меньших снежинок двух разных размеров, также можно найти покрытия, использующие более двух размеров одновременно. Снежинки Коха и антиснежинки Коха одного размера могут использоваться для мощения плоскости.

Функционализация

В дополнение к кривой, в статье Хельге фон Коха, в которой была представлена кривая Коха, показана вариация этой кривой в качестве примера функции, непрерывной в каждой точке, но нигде не дифференцируемой, которую можно было геометрически изобразить в то время. График строится рекурсивно на основе начального отрезка прямой AB следующим образом:
Разделите отрезок прямой (XY) на три равные части точками C и E.
Постройте линию DM, где M – середина отрезка CE, и DM перпендикулярна начальной прямой AB, имея длину, равную длине CE.
Постройте линии CD и DE и удалите линии CE и DM. Можно показать, что каждая точка AB стремится к определенной высоте. Если определяется как расстояние этой точки до начальной прямой AB, то как функция непрерывна в каждой точке и нигде не дифференцируема.