Введение

Математическая дисциплина
математическая дисциплина

Математический анализ — это математическое изучение непрерывных изменений, подобно тому, как геометрия изучает формы, а алгебра — обобщения арифметических операций. Изначально называемый бесконечно малым исчислением или «исчислением бесконечно малых», он имеет две основные ветви: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление. Первая изучает мгновенные скорости изменения и наклоны кривых, а вторая — накопление величин и площади под или между кривыми. Эти две ветви связаны друг с другом фундаментальной теоремой математического анализа. Они используют фундаментальные понятия сходимости бесконечных последовательностей и бесконечных рядов к чётко определённому пределу. Бесконечно малое исчисление было независимо разработано в конце XVII века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Последующие работы, включая формализацию понятия предела, заложили более прочный концептуальный фундамент для этих разработок. Сегодня математический анализ широко применяется в науке, технике и общественных науках.

Этимология

В математическом образовании исчисление обозначает курсы элементарного математического анализа, которые в основном посвящены изучению функций и пределов. Слово "calculus" в переводе с латыни означает "маленький камешек" (уменьшительное от "calx", что означает "камень"), значение которого сохранилось и в медицине. Поскольку такие камешки использовались для отсчёта расстояний, подсчёта голосов и вычислений на счётах, слово стало означать метод вычислений. В этом смысле оно использовалось в английском языке как минимум с 1672 года, за несколько лет до публикаций Лейбница и Ньютона. Помимо дифференциального и интегрального исчислений, этот термин также используется для обозначения конкретных методов расчёта и связанных с ними теорий, стремящихся моделировать определённую концепцию с помощью математики. Примеры этой практики включают логическое исчисление, исчисление Риччи, вариационное исчисление, лямбда-исчисление, секвенциальное исчисление и исчисление процессов. Кроме того, термин "calculus" применялся в этике и философии к таким системам, как фелицифический калькулус Бентама и этический калькулус.

История

Современное исчисление было разработано в Европе в XVII веке Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (независимо друг от друга, впервые опубликовав свои работы примерно в одно и то же время), но его элементы впервые появились в Древнем Египте, затем в Древней Греции, позже в Китае и на Ближнем Востоке, а затем вновь в средневековой Европе и Индии.

Египет

Расчеты объемов и площадей, одна из задач интегрального исчисления, встречаются в египетском московском папирусе (ок. 1820 г. до н.э.), однако формулы представляют собой лишь простые указания, без каких-либо пояснений относительно способа их получения.

Греция

Заложив основы интегрального исчисления и предвосхитив понятие предела, древнегреческий математик Евдокс из Книда (ок. 390 – 337 до н.э.) разработал метод исчерпывания для доказательства формул объёмов конуса и пирамиды. В эллинистический период этот метод был далее развит Архимедом (ок. 287 – ок. 212 до н.э.), который объединил его с концепцией неделимых — предшественником бесконечно малых величин — что позволило ему решить ряд задач, которые в настоящее время решаются с помощью интегрального исчисления. В «Методе механических теорем» он, например, описывает вычисление центра тяжести твёрдого полушария, центра тяжести усечённого кругового параболоида и площади области, ограниченной параболой и одной из её секущих.

Китай

Метод исчерпания был позже независимо открыт Лю Хуэйем в Китае в III веке нашей эры для нахождения площади круга, а впоследствии стал известен как принцип Кавальери для определения объема сферы.

Ближний Восток

На Ближнем Востоке Хасан Ибн аль-Хайтам, латинизированный как Альхазен (н.э.), вывел формулу для суммы четвёртых степеней. Он использовал полученные результаты для вычисления, которое сегодня мы назвали бы интегрированием этой функции, а формулы для сумм интегральных квадратов и четвёртых степеней позволили ему рассчитать объём параболоида.

Индия

Бхаскара II был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления и предположил, что "дифференциальный коэффициент" обращается в нуль в точке экстремума функции. В своей астрономической работе он привел процедуру, которая представляла собой предшественник методов бесконечно малых. А именно, если то Это можно интерпретировать как открытие того, что косинус является производной синуса. В XIV веке индийские математики предложили нестрогий метод, напоминающий дифференцирование, применимый к некоторым тригонометрическим функциям. Мадхава из Сангамаграмы и Керальская школа астрономии и математики сформулировали компоненты исчисления, но, по мнению Виктора Дж. Каца, они не смогли "объединить множество различных идей вокруг двух объединяющих тем производной и интеграла, показать связь между ними и превратить исчисление в мощный инструмент решения задач, каким мы знаем его сегодня". Кеплер разработал метод вычисления площади эллипса путем суммирования длин множества радиусов, проведенных из фокуса эллипса. Значительным трудом стал трактат, основанный на методах Кеплера, а объединение было достигнуто Джоном Уоллисом, Исааком Барроу и Джеймсом Грегори, последние два из которых около 1670 года доказали предшественников второй фундаментальной теоремы исчисления. Правило произведения и правило цепи, понятия высших производных и рядов Тейлора, а также аналитических функций использовались Исааком Ньютоном в своеобразной нотации, которую он применял для решения задач математической физики. В своих работах Ньютон перефразировал свои идеи, чтобы они соответствовали математическому стилю того времени, заменяя вычисления с бесконечно малыми эквивалентными геометрическими рассуждениями, которые считались неоспоримыми. Он использовал методы исчисления для решения задачи о движении планет, формы поверхности вращающейся жидкости, сплюснутости Земли, движении тела, скользящего по циклоиде, и многих других задач, обсуждаемых в его "Математических началах натуральной философии" (Principia Mathematica, 1687). В другой работе он разработал разложения в ряды для функций, включая дробные и иррациональные степени, и было ясно, что он понимал принципы ряда Тейлора. Он не опубликовал все эти открытия, и в то время методы бесконечно малых все еще считались сомнительными. В настоящее время он признан независимым изобретателем и одним из создателей исчисления. Его вклад заключался в предоставлении четкого набора правил для работы с бесконечно малыми величинами, позволяющих вычислять вторые и более высокие производные, а также в формулировании правила произведения и правила цепи в их дифференциальной и интегральной формах. В отличие от Ньютона, Лейбниц приложил значительные усилия к выбору обозначений. Сегодня Лейбницу и Ньютону обычно приписывают независимое изобретение и развитие исчисления. Ньютон первым применил исчисление к общей физике. Лейбниц разработал большую часть обозначений, используемых в исчислении сегодня. Внимательное изучение работ Лейбница и Ньютона показывает, что они пришли к своим результатам независимо друг от друга, причем Лейбниц начинал с интегрирования, а Ньютон – с дифференцирования. Однако именно Лейбниц дал название новой дисциплине. Ньютон называл свое исчисление "наукой о флюксиях", термин, который сохранялся в английских школах вплоть до XIX века. Первый полный трактат по исчислению, написанный на английском языке и использующий лейбницкую нотацию, был опубликован только в 1815 году. С времен Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в дальнейшее развитие исчисления. Одной из первых и наиболее полных работ по бесконечно малому и интегральному исчислению была книга, написанная в 1748 году Марией Гаэтаной Агнези.

Фундации

В исчислении «основы» относятся к строгому развитию предмета из аксиом и определений. В раннем исчислении использование бесконечно малых величин считалось ненадежным и подвергалось резкой критике со стороны ряда авторов, наиболее заметно Мишеля Роля и епископа Беркли. Беркли в своей книге «Аналитик» 1734 года описал бесконечно малые как призраки исчезнувших величин. Построение строгих основ исчисления занимало математиков на протяжении большей части столетия, последовавшего за Ньютоном и Лейбницем, и до сих пор в некоторой степени является активной областью исследований. Несколько математиков, включая Маклорена, пытались доказать состоятельность использования бесконечно малых, но лишь спустя 150 лет, благодаря работам Коши и Вейерштрасса, был найден способ избежать простых «представлений» об бесконечно малых величинах. Были заложены основы дифференциального и интегрального исчисления. В «Курсе анализа» Коши мы находим широкий спектр фундаментальных подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых и (в некоторой степени неточный) прототип (ε, δ)-определения предела в определении дифференцирования. В своей работе Вейерштрасс формализовал понятие предела и устранил бесконечно малые (хотя его определение может быть применимо к нильквадратным бесконечно малым). После работ Вейерштрасса стало общепринятым основывать исчисление на пределах, а не на бесконечно малых величинах, хотя предмет по-прежнему иногда называют «исчислением бесконечно малых». Бернхард Риман использовал эти идеи для получения точного определения интеграла. В этот же период идеи исчисления были обобщены на комплексную плоскость с развитием комплексного анализа. В современной математике основы исчисления включены в область вещественного анализа, которая содержит полные определения и доказательства теорем исчисления. Область применения исчисления также значительно расширилась. Анри Лебег изобрел теорию меры, основанную на более ранних разработках Эмиля Бореля, и использовал ее для определения интегралов для всех функций, кроме наиболее патологических. Лоран Шварц ввел обобщенные функции (распределения), которые можно использовать для вычисления производной любой функции. Пределы — не единственный строгий подход к основам исчисления. Другой способ — использовать нестандартный анализ Абрахама Робинсона. Подход Робинсона, разработанный в 1960-х годах, использует технические средства математической логики для расширения системы действительных чисел бесконечно малыми и бесконечно большими числами, как в оригинальной концепции Ньютона и Лейбница. Полученные числа называются гипердействительными, и их можно использовать для построения обычных правил исчисления в духе Лейбница. Существует также гладкий бесконечно малый анализ, который отличается от нестандартного анализа тем, что требует пренебрежения бесконечно малыми более высоких порядков при дифференцировании. Венгерский ученый Джон фон Нейман писал об этой работе: «Исчисление стало первым достижением современной математики, и его важность трудно переоценить. Я считаю, что оно более однозначно, чем что-либо другое, определяет начало современной математики, а система математического анализа, являющаяся его логическим развитием, по-прежнему представляет собой величайший технический прогресс в точном мышлении». Области применения дифференциального исчисления включают вычисления, связанные со скоростью и ускорением, наклоном кривой и оптимизацией.

Пределы и бесконечно малые

Калькулус обычно развивается при работе с очень малыми величинами. Исторически, первым методом этого было использование бесконечно малых величин. Это объекты, которые можно рассматривать как действительные числа, но которые в некотором смысле "бесконечно малы". Например, бесконечно малая величина может быть больше 0, но меньше любого числа в последовательности 1, 1/2, 1/3 и, следовательно, меньше любого положительного действительного числа. С этой точки зрения, дифференциальное и интегральное исчисление представляет собой набор методов манипулирования бесконечно малыми величинами. Символы и принимались за бесконечно малые, а производная была их отношением. В более явных терминах "функция удвоения" может быть обозначена как , а "функция возведения в квадрат" – как . "Производная" теперь принимает функцию f(x), определенную выражением "x^(2)", в качестве аргумента, то есть всю информацию – например, что 2 отображается в 4, 3 – в 9, 4 – в 16 и так далее – и использует эту информацию для вывода другой функции, которая, как окажется, будет функцией . В обозначениях Лагранжа символ производной – это апостроф, называемый штрихом. Таким образом, производная функции f обозначается f′, произносится как "f штрих" или "f с штрихом". Например, если является функцией возведения в квадрат, то является её производной (функцией удвоения g, указанной выше). Если аргумент функции представляет время, то производная представляет изменение относительно времени. Например, если f – это функция, которая принимает время в качестве аргумента и выдает положение шара в данный момент времени в качестве результата, то производная f показывает, как изменяется положение во времени, то есть это скорость шара. Однако, если график функции не является прямой линией, то изменение y, деленное на изменение x, меняется. Производные придают точное значение понятию изменения выходного значения относительно изменения входного значения. Чтобы быть конкретными, пусть f – это функция, и зафиксируем точку a в области определения f. (a, f(a)) – это точка на графике функции. Если h – число, близкое к нулю, то a + h – число, близкое к a. Следовательно, (a + h, f(a + h)) близко к (a, f(a)). Наклон между этими двумя точками называется разностным отношением. Линия, проходящая через две точки на кривой, называется секущей, поэтому m – это наклон секущей, проходящей через точки (a, f(a)) и (a + h, f(a + h)). Эта прямая – лишь приближение к поведению функции в точке a, поскольку она не учитывает, что происходит между a и a + h. Невозможно определить поведение в точке a, полагая h равным нулю, поскольку это потребовало бы деления на ноль, что не определено. Производная определяется как предел разностного отношения при h, стремящемся к нулю, что означает, что она рассматривает поведение f для всех малых значений h и извлекает согласованное значение для случая, когда h равно нулю:

Геометрически, производная – это наклон касательной к графику f в точке a. Касательная – это предел секущих, так же как производная – это предел разностных отношений. По этой причине производную иногда называют угловым коэффициентом функции f. Неопределенный интеграл, также известный как первообразная, является обратной операцией к производной. Мотивирующим примером является расстояние, пройденное за заданное время.

Основная теорема

Основная теорема исчисления утверждает, что дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции. Фундаментальная теорема предоставляет алгебраический метод вычисления многих определённых интегралов, позволяя избежать вычисления пределов, путём нахождения формул для первообразных. Она также является прототипическим решением дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения связывают неизвестную функцию с её производными и широко распространены в науках.

Приложения

Математический анализ используется во всех областях физических наук, актуарной математики, информатики, статистики, инженерии, экономики, бизнеса, медицины, демографии и других областях, где задачу можно математически смоделировать и требуется оптимальное решение. Он позволяет перейти от (непостоянных) скоростей изменения к общему изменению или наоборот, и часто при изучении задачи мы знаем одно и пытаемся найти другое. Математический анализ может использоваться в сочетании с другими математическими дисциплинами. Например, его можно использовать с линейной алгеброй для нахождения наилучшего линейного приближения для набора точек в области. Или его можно использовать в теории вероятностей для определения математического ожидания непрерывной случайной величины, заданной функцией плотности вероятности. В аналитической геометрии, при изучении графиков функций, математический анализ используется для нахождения точек максимума и минимума, наклона, выпуклости и точек перегиба. Математический анализ также используется для нахождения приближенных решений уравнений; на практике это стандартный способ решения дифференциальных уравнений и поиска корней в большинстве приложений. Примерами являются такие методы, как метод Ньютона, метод последовательных приближений и линейное приближение. Например, космические аппараты используют вариант метода Эйлера для приближенного расчета криволинейных траекторий в условиях невесомости. Физика особенно широко использует математический анализ; все понятия в классической механике и электромагнетизме связаны посредством математического анализа. Массу объекта с известной плотностью, момент инерции объектов и потенциальную энергию, обусловленную гравитационными и электромагнитными силами, можно определить с помощью математического анализа. Примером использования математического анализа в механике является второй закон Ньютона, который гласит, что производная импульса объекта по времени равна равнодействующей силе, действующей на него. В качестве альтернативы второй закон Ньютона можно выразить так: равнодействующая сила равна массе объекта, умноженной на его ускорение, которое является производной скорости по времени и, следовательно, второй производной пространственного положения по времени. Зная, как ускоряется объект, мы используем математический анализ для определения его траектории. Теория электромагнетизма Максвелла и теория относительности Эйнштейна также выражены на языке дифференциального исчисления. Химия также использует математический анализ при определении скоростей реакций и при изучении радиоактивного распада. Теорема Грина, устанавливающая связь между криволинейным интегралом по простой замкнутой кривой C и двойным интегралом по плоской области D, ограниченной C, применяется в инструменте, известном как планиметр, который используется для вычисления площади плоской поверхности на чертеже. Например, при проектировании участка недвижимости его можно использовать для расчета площади неправильной клумбы или бассейна. В медицине математический анализ может быть использован для определения оптимального угла ветвления кровеносного сосуда для максимизации кровотока. Математический анализ может быть применен для понимания того, как быстро лекарство выводится из организма или как быстро растет раковая опухоль. В экономике математический анализ позволяет определить максимальную прибыль, предоставляя способ легко рассчитать предельные затраты и предельный доход.