Кіріспе
Сызықтық алгебрадағы квадрат матрицаның түрі. Сызықтық алгебрада Гессенберг матрицасы – үшбұрышты матрицаға жақын ерекше квадрат матрица. Нақтырақ айтқанда, жоғарғы Гессенберг матрицасының бірінші субдиагоналінен төмен жатқан элементтері нөлге тең, ал төменгі Гессенберг матрицасының бірінші супердиагоналінен жоғары жатқан элементтері нөлге тең болады. Олар Карл Гессенбергтің құрметіне аталған. Гессенберг жіктелуі – матрицаны унитарлық матрицаға және Гессенберг матрицасына жіктеу, яғни теңдеуі орындалады, мұнда – түйіндес транспоз.
In linear algebra, a Hessenberg matrix is a special kind of square matrix, one that is "almost" triangular. To be exact, an upper Hessenberg matrix has zero entries below the first subdiagonal, and a lower Hessenberg matrix has zero entries above the first superdiagonal. They are named after Karl Hessenberg. A Hessenberg decomposition is a matrix decomposition of a matrix into a unitary matrix and a Hessenberg matrix such that where denotes the conjugate transpose.
Жоғарғы Гессенберг матрицасы
Квадраттық матрица жоғарғы Гессенберг формасында немесе жоғарғы Гессенберг матрицасы деп аталады, егер барлық үшін болатын болса. Жоғарғы Гессенберг матрицасы, егер барлық субдиагональді элементтері нөлден өзгеше болса, яғни барлық үшін болса, толық емес деп аталады.
An upper Hessenberg matrix is called unreduced if all subdiagonal entries are nonzero, i. e. if for all .
Төменгі Гессенберг матрицасы
Квадраттық матрица төменгі Гессенберг формасында немесе төменгі Гессенберг матрицасы деп аталады, егер оның транспозициясы жоғарғы Гессенберг матрицасы болса, немесе барлық үшін . Төменгі Гессенберг матрицасы, егер барлық супердиагональді элементтері нөлден өзгеше болса, толық емес деп аталады, яғни барлық үшін .
A lower Hessenberg matrix is called unreduced if all superdiagonal entries are nonzero, i. e. if for all .
Мысалдар
Келесі матрицаларды қарастырайық. Матрица – жоғарғы азайтылмаған Гессенберг матрицасы, – төменгі азайтылмаған Гессенберг матрицасы, ал – төменгі Гессенберг матрицасы, бірақ толық емес.
Компьютерлік бағдарламалау
Көптеген сызықтық алгебра алгоритмдері үшбұрышты матрицаларға қолданғанда едәуір аз есептеу күшін қажет етеді, және бұл жақсарту көбінесе Гессенберг матрицаларына да қатысты. Сызықтық алгебра есептерінің шектеулері жалпы матрицаны үшбұрышты матрицаға ыңғайлы түрде келтіруге мүмкіндік бермесе, Гессенберг формасына келтіру көбінесе ең жақсы шешім болып табылады. Шындығында, кез келген матрицаны Гессенберг формасына дейін шектеулі қадамдарда келтіруге болады (мысалы, бірлік ұқсастық түрлендірулері арқылы, оның ішінде Хаусхолдер түрлендіруі). Гессенберг матрицасын үшбұрышты матрицаға одан әрі келтіру итеративтік процедуралар арқылы мүмкін, мысалы, ығыстырылған QR факторлау арқылы. Өздік мәндерді есептеу алгоритмдерінде Гессенберг матрицасын ығыстырылған QR факторлау және дефляциялық қадамдарды қолдану арқылы үшбұрышты матрицаға дейін келтіруге болады. Жалпы матрицаны үшбұрышты матрицаға тікелей келтірудің орнына, оны Гессенберг матрицасына, содан кейін үшбұрышты матрицаға келтіру, өзіндік мәндер есептері үшін QR алгоритмінде қолданылатын арифметикалық операцияларды үнемдеуге көмектеседі.
Үй иесінің трансформациясы
Кез келген матрицаны Householder түрлендірулерін қолдана отырып, ұқсастық түрлендіру арқылы Гессенберг матрицасына түрлендіруге болады. Мұндай түрлендірудің келесі процедурасы Гарсия мен Роджердің "Сызықтық алгебрадағы екінші курс" кітабынан бейімделген. Кез келген нақты немесе кешенді матрица болсын, содан кейін матрицадан бірінші қатарды алып тастау арқылы құрылған кіші матрица болсын, ал бірінші баған болсын. Үй иесі матрицасын құрастырыңыз, онда
Бұл Үй иесі матрицасы матрицаны матрицаға бейнелейді және осылайша, блок матрицасы матрицаны бірінші бағанның екінші элементінен төмен нөлдері бар матрицаға бейнелейді. Енді Үй иесі матрицасын ұқсас тәсілмен, бірақ бірінші қатар мен бірінші бағанды алып тастау арқылы құрылған матрица үшін құрастырыңыз, содан кейін матрицаны бейнелейтін матрицаға бейнелейді, онда бас диагональдің астындағы бірінші және екінші элементтерден басқа барлық элементтер нөлге тең. Енді және одан кейін ұқсас тәсілмен, бірақ бірінші қатар мен бірінші бағанды алып тастау арқылы құрылған матрица үшін құрастырыңыз және бұрынғы қадамдардағыдай жалғастырыңыз. Осылайша, жалпы саны қадамдарға дейін жалғастырыңыз. құрастырылуы бойынша, кез келген матрицаның бірінші бағандары оң жағынан көбейту кезінде өзгермейді. Осылайша, кез келген матрицаны форманың ұқсастық түрлендіруі арқылы жоғарғы Гессенберг матрицасына түрлендіруге болады.
Қасиеттері
Әрине, әрбір матрица жоғары Гессенберг және төменгі Гессенберг болатыны сөзсіз. Гессенберг матрицасын үшбұрышты матрицаға көбейту нәтижесінде қайтадан Гессенберг матрицасы шығады. Нақтырақ айтқанда, егер матрица жоғары Гессенберг, ал екіншісі жоғары үшбұрышты болса, онда олардың көбейтіндісі де жоғары Гессенберг матрицасы болады. Жоғары және төменгі Гессенберг матрицасының қасиеттерін біріктіретін матрица – үшдиагональды матрица, оның маңызды мысалы – Якоби матрицасы. Бұл симметриялық немесе Эрмиттік Гессенберг матрицаларын да қамтиды. Эрмиттік матрицаны үшдиагональды нақты симметриялық матрицаларға дейін келтіруге болады.
Hessenberg операторы
Гессенберг операторы – шексіз өлшемді Гессенберг матрицасы. Ол көбінесе белгілі бір домендегі квадраттық интегралға ие голоморфтық функциялар кеңістігі үшін, яғни Бергман кеңістігі үшін Якоби операторының ортогональды полиномиалдар жүйесіне жасалған жалпылау ретінде кездеседі. Бұл жағдайда Гессенберг операторы оңға жылға ысыру операторы болып табылады, және Гессенберг операторының әрбір бас субматрицасының өзіндік мәндері сол субматрицаның сипаттамалық полиномы арқылы беріледі. Бұл полиномдар Бергман полиномдары деп аталады және Бергман кеңістігі үшін ортогональды полиномдық негізді құрайды.
The eigenvalues of each principal submatrix of the Hessenberg operator are given by the characteristic polynomial for that submatrix. These polynomials are called the Bergman polynomials, and provide an orthogonal polynomial basis for Bergman space.