Введение

Вид квадратной матрицы в линейной алгебре. В линейной алгебре матрица Гессенберга — это особый вид квадратной матрицы, которая "почти" треугольная. Точнее, верхняя матрица Гессенберга имеет нулевые элементы ниже первой поддиагонали, а нижняя матрица Гессенберга — нулевые элементы выше первой наддиагонали. Они названы в честь Карла Гессенберга. Разложение Гессенберга — это представление матрицы в виде произведения унитарной матрицы и матрицы Гессенберга, таких что , где обозначает сопряжённо-транспонированную матрицу.

Матрица Верхнего Гессенберга

Квадратная матрица называется матрицей в верхней форме Гессенберга или верхней матрицей Гессенберга, если для всех с . Матрица в верхней форме Гессенберга называется нередуцированной, если все субдиагональные элементы ненулевые, то есть если для всех .

Матрица Нижнего Гессенберга

Квадратная матрица называется матрицей нижнего Гессенберга, если её транспонирование является матрицей верхнего Гессенберга, или, что эквивалентно, если для всех с .

Матрица нижнего Гессенберга называется нередуцированной, если все наддиагональные элементы ненулевые, то есть если для всех .

Примеры

Рассмотрим следующие матрицы. Матрица является верхней нередуцированной матрицей Гессенберга, матрица — нижней нередуцированной матрицей Гессенберга, а матрица — нижней матрицей Гессенберга, но не является нередуцированной.

Компьютерное программирование

Многие алгоритмы линейной алгебры требуют значительно меньше вычислительных затрат при применении к треугольным матрицам, и это преимущество часто сохраняется и для матриц Гессенберга. Если ограничения задачи линейной алгебры не позволяют удобно привести общую матрицу к треугольному виду, то приведение к форме Гессенберга часто является следующим лучшим вариантом. Фактически, любую матрицу можно привести к форме Гессенберга за конечное число шагов (например, с помощью преобразования Хаусхолдера, представляющего собой унитарное преобразование подобия). Последующее приведение матрицы Гессенберга к треугольному виду можно осуществить итеративными методами, такими как QR-факторизация со сдвигом. В алгоритмах вычисления собственных значений матрицу Гессенберга можно дополнительно привести к треугольному виду с помощью QR-факторизации со сдвигом в сочетании с шагами дефляции. Приведение общей матрицы к матрице Гессенберга, а затем к треугольной, вместо непосредственного приведения общей матрицы к треугольной, часто позволяет сократить объем арифметических операций, связанных с QR-алгоритмом для задач на собственные значения.

Трансформации домовладельцев

Любую матрицу можно преобразовать в матрицу Гессенберга посредством преобразования подобия с использованием преобразований Хаусхолдера. Следующий алгоритм такого преобразования адаптирован из книги «Второй курс линейной алгебры» Гарсии и Роджера. Пусть – любая вещественная или комплексная матрица, тогда пусть – подматрица , полученная удалением первой строки, а – первый столбец . Построим матрицу Хаусхолдера , где

Эта матрица Хаусхолдера отображает в , и, следовательно, блочная матрица отображает матрицу в матрицу, которая имеет только нули ниже второго элемента первого столбца. Теперь построим матрицу Хаусхолдера аналогичным образом, чтобы она отображала первый столбец в , где – подматрица , полученная удалением первой строки и первого столбца из , а затем пусть она отображает в матрицу, которая имеет только нули ниже первого и второго элементов побочной диагонали. Теперь построим и затем аналогичным образом, но для матрицы, полученной удалением первой строки и первого столбца из , и продолжим, как в предыдущих шагах. Продолжайте так в течение всего шагов. По построению, первые столбцов любой матрицы инвариантны относительно умножения справа на . Следовательно, любую матрицу можно преобразовать в верхнюю матрицу Гессенберга посредством преобразования подобия вида .

Свойства

Для пустого множества это тривиально верно, что каждая матрица является одновременно верхней гессенберговой и нижней гессенберговой. Произведение гессенберговой матрицы с треугольной матрицей снова является гессенберговой. Более точно, если матрица является верхней гессенберговой, а другая – верхней треугольной, то их произведение будет верхней гессенберговой. Матрица, которая является одновременно верхней и нижней гессенберговой, называется тридиагональной матрицей, важным примером которой является матрица Якоби. Это относится и к симметричным или эрмитовым гессенберговым матрицам. Эрмитова матрица может быть приведена к тридиагональному виду с использованием вещественных симметричных матриц.

Оператор из Гессенберга

Оператор Гессенберга — бесконечномерная матрица Гессенберга. Он часто возникает как обобщение оператора Якоби к системе ортогональных полиномов для пространства квадратично интегрируемых голоморфных функций над некоторой областью, то есть пространства Бергмана. В этом случае оператор Гессенберга является оператором правого сдвига, определяемым как… Собственные значения каждой главной подматрицы оператора Гессенберга задаются характеристическим полиномом для этой подматрицы. Эти полиномы называются полиномами Бергмана и образуют ортогональный полиномиальный базис пространства Бергмана.