Жай модульдер гомоморфизмі: изоморфизм немесе нөлдік бейнелеу

Кіріспе

Бір сақинадағы қарапайым модульдер арасындағы гомоморфизмдер изоморфизмдер немесе нөлдік болып табылады. Математикада Шур леммасы – топтар мен алгебралардың өкілдік теориясындағы элементарлық, бірақ өте пайдалы тұжырым. Топ жағдайында, егер M және N – G тобының екі шекті өлшемді бөлгішсіз өкілдіктері болса және φ – топтың әрекетімен коммутациялайтын M-ден N-ге дейінгі сызықтық бейнелеу болса, онда φ кері өшіріледі немесе φ = 0 болады. Маңызды ерекше жағдай M = N болғанда, яғни φ – өзіне бейнелеу; атап айтқанда, топтың центріндегі кез келген элемент M-де скалярлық оператор (бірлік матрицаның скалярлық еселігі) ретінде әрекет етуі керек. Лемма Исаи Шурдың құрметіне аталған, ол оны Шурдың ортогоналдық қатынастарын дәлелдеу және шекті топтардың өкілдік теориясының негіздерін дамыту үшін пайдаланған. Шур леммасы Ли топтары мен Ли алгебраларына жалпылауға болады, олардың ең көп таралғандары Жак Диксмиер мен Дэниел Куилленге тиесілі.

Топтардың бейнелеу теориясы

Өкілдік теориясы – бұл топ G-ден векторлық кеңістік V-тің жалпы сызықтық тобы GL(V)-ге, яғни V-тің автоморфизмдер тобына гомоморфизмдерді зерттеу. (Мұнда V-тің негізгі өрісі – кешенді сандар өрісі деп шектелейік.) Мұндай гомоморфизм G-нің V-ге берілген өкілдігі деп аталады. V-ге берілген өкілдік – V-ге берілген топтық әрекеттің ерекше жағдайы, бірақ V-тің негізгі жиынының кез келген кездейсоқ биекциясына (пермутациясына) рұқсат етудің орнына, біз тек кері айналатын сызықтық түрлендірулермен ғана шектелеміз. ρ болсын – G-нің V-дегі өкілдігі. Мүмкін, V-де W подкеңістігі бар, мұнда G-нің кез келген элементі g үшін кері сызықтық бейнелеу ρ(g) W-ді сақтайды немесе бекітеді, яғни кез келген w ∈ W үшін (ρ(g))(w) ∈ W, ал кез келген v ∉ W үшін (ρ(g))(v) ∉ W. Басқаша айтқанда, әрбір сызықтық бейнелеу ρ(g): V→V, оның анықталу облысы W-ге шектелгенде, W-нің автоморфизмі болып табылады, ρ(g): W→W. W-ді G тұрақтандырылған немесе G әрекеті тұрақтандырылған деп айтамыз. Егер W-ді векторлық кеңістік ретінде қарастырсақ, онда W-де G-нің анық өкілдігі бар – әрбір бейнелеу ρ(g)-ні W-ге шектеу арқылы алынған өкілдік. Егер W осы қасиетке ие болса, онда W-ді берілген өкілдікпен бірге V-тің подөкілдігі деп атаймыз. G-нің кез келген өкілдігінің өзі және нөлдік векторлық кеңістік тривиалды подөкілдіктер болып табылады. Тривиалды емес подөкілдіктері жоқ G өкілдігі редукцияланбайтын өкілдік деп аталады. Редукцияланбайтын өкілдіктер – жай сандар сияқты немесе топтар теориясындағы қарапайым топтар сияқты – өкілдік теориясының құрылыс блоктары болып табылады. Өкілдік теориясының көптеген бастапқы сұрақтары мен теоремалары редукцияланбайтын өкілдіктердің қасиеттерін зерттейді. Топтар арасындағы гомоморфизмдерге және топологиялық кеңістіктер арасындағы үздіксіз бейнелеулерге қызығушылық танытқандай, G-нің өкілдіктері арасындағы белгілі бір функцияларға да қызығушылық танытамыз. V және W векторлық кеңістіктер болсын, ал V және W бойынша G-нің өкілдіктері болсын. Содан кейін G-сызықтық бейнелеу f: V→W – бұл G әрекетіне қатысты эквивариантты сызықтық бейнелеу, яғни G-дегі кез келген g үшін. Басқаша айтқанда, f G әрекетімен коммутациялайды деп талап етеміз. G-сызықтық бейнелеулер – G өкілдіктерінің санатындағы морфизмдер. Шур леммасы – G-нің екі редукцияланбайтын өкілдігі арасында қандай G-сызықтық бейнелеулер болуы мүмкін екенін сипаттайтын теорема.

Representation theory is the study of homomorphisms from a group, G, into the general linear group GL(V) of a vector space V; i. e., into the group of automorphisms of V. (Let us here restrict ourselves to the case when the underlying field of V is , the field of complex numbers.) Such a homomorphism is called a representation of G on V. A representation on V is a special case of a group action on V, but rather than permit any arbitrary bijections (permutations) of the underlying set of V, we restrict ourselves to invertible linear transformations. Let ρ be a representation of G on V. It may be the case that V has a subspace, W, such that for every element g of G, the invertible linear map ρ(g) preserves or fixes W, so that (ρ(g))(w) is in W for every w in W, and (ρ(g))(v) is not in W for any v not in W. In other words, every linear map ρ(g): V→V is also an automorphism of W, ρ(g): W→W, when its domain is restricted to W. We say W is stable under G, or stable under the action of G. It is clear that if we consider W on its own as a vector space, then there is an obvious representation of G on W—the representation we get by restricting each map ρ(g) to W. When W has this property, we call W with the given representation a subrepresentation of V. Every representation of G has itself and the zero vector space as trivial subrepresentations. A representation of G with no non trivial subrepresentations is called an irreducible representation. Irreducible representations – like the prime numbers, or like the simple groups in group theory – are the building blocks of representation theory. Many of the initial questions and theorems of representation theory deal with the properties of irreducible representations. Just as we are interested in homomorphisms between groups, and in continuous maps between topological spaces, we are also interested in certain functions between representations of G. Let V and W be vector spaces, and let and be representations of G on V and W respectively. Then we define a G linear map f from V to W to be a linear map from V to W that is equivariant under the action of G; that is, for every g in G, In other words, we require that f commutes with the action of G. G linear maps are the morphisms in the category of representations of G.

Schur's Lemma is a theorem that describes what G linear maps can exist between two irreducible representations of G.

Леманың анықтамасы мен дәлелі

Теорема (Шурдың леммасы): V және W векторлық кеңістіктер болсын; және V және W бойынша G-нің өзіндік бейнелері болсын. Егер және изоморфты болмаса, онда олардың арасында тривиалды емес G-сызықтық бейнелеулер жоқ. Егер алгебралық жабық өріс бойынша шекті өлшемді болса (мысалы, ); және егер , онда жалғыз тривиалды емес G-сызықтық бейнелеулер — сәйкестік және сәйкестіктің скалярлық еселіктері болып табылады. (Бірліктің скалярлық еселігі кейде гомотетия деп аталады.) Дәлел: G нөлден өзгеше сызықтық бейнелеу болсын, ол V-ден W-ға бейнелейді. Біз және изоморфты екенін дәлелдейміз. in, in-нің ядросы немесе нөлдік кеңістігі болсын, яғни in-нің барлық элементтерінен тұратын in-ның қосалқы кеңістігі, үшін (Бұл қосалқы кеңістік екенін тексеру оңай). G-сызықтық деп болжау арқылы, әр in және in таңдау үшін, бірақ оны in-нің нөлдік кеңістігінде тұратынымен айтумен бірдей; бұл субөкілдік. Алдын ала болжам бойынша азайтылмайтындықтан, ядро нөл болуы керек; сондықтан бейнелеу инъективті. Сол сияқты аргументпен бейнелеу сюръективті екенін де көрсетеміз; өйткені, кездейсоқ таңдау үшін, бейнелеудің суретіндегі элементті бейнелеудің суретіндегі басқа элементке жібереді; әсіресе, оны бейнелеудің суретіне жібереді. Сондықтан бейнелеудің суреті — G әрекеті бойынша тұрақты қосалқы кеңістік, сондықтан ол субөкілдік және нөл немесе сюръективті болуы керек. Алдын ала болжам бойынша ол нөл емес, сондықтан ол сюръективті, бұл жағдайда ол изоморфизм. Егер алгебралық жабық өріс бойынша шекті өлшемді және олардың бірдей бейнелеуі болса, онда (Алгебралық жабық өріс бойынша шекті өлшемді векторлық кеңістіктегі әрбір сызықтық түрлендіру үшін өзіндік мән бар) деген өзіндік мәнді алайық. Егер in-нің өзіндік мәніне сәйкес өзіндік векторы болса, онда G-сызықтық бейнелеу екені анық, өйткені G-сызықтық бейнелеулердің қосындысы немесе айырмасы да G-сызықтық. Содан кейін жоғарыдағы аргументке қайта ораламыз, онда бейнелеудің G-сызықтық екендігі туралы қорытынды жасауға арналған бейнелеудің ядросы субөкілдік болып табылады, сондықтан ол нөл немесе V-дің бәріне тең; өйткені ол нөл емес (онда бар), ол V-дің бәрі болуы керек және сондықтан бейнелеу тривиалды, сондықтан .

Theorem (Schur's Lemma): Let V and W be vector spaces; and let and be irreducible representations of G on V and W respectively. If and are not isomorphic, then there are no nontrivial G linear maps between them. If finite dimensional over an algebraically closed field (e. g. ); and if , then the only nontrivial G linear maps are the identity, and scalar multiples of the identity. (A scalar multiple of the identity is sometimes called a homothety.) Proof: Suppose is a nonzero G linear map from to We will prove that and are isomorphic. Let be the kernel, or null space, of in , the subspace of all in for which (It is easy to check that this is a subspace.) By the assumption that is G linear, for every in and choice of in , But saying that is the same as saying that is in the null space of So is stable under the action of G; it is a subrepresentation. Since by assumption is irreducible, must be zero; so is injective. By an identical argument we will show is also surjective; since , we can conclude that for arbitrary choice of in the image of , sends somewhere else in the image of ; in particular it sends it to the image of So the image of is a subspace of stable under the action of , so it is a subrepresentation and must be zero or surjective. By assumption it is not zero, so it is surjective, in which case it is an isomorphism. In the event that finite dimensional over an algebraically closed field and they have the same representation, let be an eigenvalue of (An eigenvalue exists for every linear transformation on a finite dimensional vector space over an algebraically closed field.) Let Then if is an eigenvector of corresponding to It is clear that is a G linear map, because the sum or difference of G linear maps is also G linear. Then we return to the above argument, where we used the fact that a map was G linear to conclude that the kernel is a subrepresentation, and is thus either zero or equal to all of ; because it is not zero (it contains ) it must be all of V and so is trivial, so .

Орталық таңбаларға қолдану

Анықтама: Егер – алгебра болса, – модулі орталық сипатқа ие деп айтылады (мұнда – орталығы), егер кез келген үшін, осындай болатын болатын, яғни кез келген элемент – өзіндік мәнімен бірге – жалпыланған өзіндік вектор болады. Егер , жоғарыда суреттелген жағдайда, –ның әрбір элементі – эндоморфизм ретінде, содан кейін скаляр ретінде әрекет етеді. Осылайша, барлық үшін сақиналық гомоморфизм бар, атап айтқанда, орталық сипатқа ие. Егер – Ли алгебрасының әмбебап орталық алгебрасы болса, орталық сипат – инфинитезималды сипат деп те аталады, ал алдыңғы қарастырулар егер шекті өлшемді болса (сонымен қатар саналатын өлшемді болса), онда кез келген жай модуль инфинитезималды сипатқа ие екенін көрсетеді. Егер – шекті топтың алгебрасы болса, сондай қорытындыға келінеді. Мұнда, –ның орталығы – формасындағы элементтерден тұрады, мұнда – кластық функция, яғни конъюгация кезінде өзгермейді. Кластық функциялар жиыны – ирредукциялық бейнелеулердің таңбаларымен жабылады, сондықтан орталық сипат – оның (барлығы үшін) қандай сәйкестікке түсірілетінімен анықталады. Барлығы идемпотент болғандықтан, олардың әрқайсысы 0 немесе 1-ге түсіріледі, ал екі түрлі ирредукциялық бейнелеу үшін тек біреуі ғана 1-ге түсірілуі мүмкін: – модуліне сәйкес келетіні.

Ли тобы мен Ли алгебрасының бейнелері

Біз қазір Шур леммасын Lie топтары мен Lie алгебраларының бейнелеулері контекстінде әдетте айтылатындай сипаттаймыз. Нәтиже үш бөліктен тұрады. Біріншіден, егер және кез келген өрістегі Lie тобының немесе Lie алгебрасының ирредукциялық бейнелеулері болса және өзара байланыстыратын бейнелеу болса, онда нөлге тең немесе изоморфизм болады. Екіншіден, егер алгебралық жабық өрістегі Lie тобының немесе Lie алгебрасының ирредукциялық бейнелеуі болса және өзара байланыстыратын бейнелеу болса, онда сәйкестік бейнелеуінің скалярлық еселігі болады. Үшіншіден, егер және алгебралық жабық өрістегі Lie тобының немесе Lie алгебрасының ирредукциялық бейнелеулері болса және нөлдік емес өзара байланыстыратын бейнелеулер болса, онда кейбір скаляр үшін . Екінші мәлімдеменің қарапайым салдары – Абель тобының кез келген комплекс ирредукциялық бейнелеуі бір өлшемді болады.

Казимир элементіне қолдану

Болсын – Ли алгебрасы, ал – Ли алгебрасының универсалды қоршау алгебрасы. Болсын – алгебралық жабық өріс үстіндегі –нің редукцияланбайтын бейнелеуі. Универсалды қоршау алгебрасының әмбебап қасиеті –нің сол векторлық кеңістікте әрекет ететін бейнелеуіне дейін кеңейтіледі деп кепілдік береді. Шур леммасының екінші бөлігінен егер –нің орталық элеменіне тиесілі болса, онда ол бірлік оператордың еселігі болуы керек екені шығады. Егер – кешенді жартылай қарапайым Ли алгебрасы болса, алдындағы құрылымның маңызды мысалы – Казимир элемені болып табылады. Бұл жағдайда , мұнда – –ның жоғарғы салмағы тұрғысынан нақты есептеуге болатын тұрақты шама. Казимир элементінің әрекеті жартылай қарапайым Ли алгебраларының шекті өлшемді бейнелеулерінің толық редукциялануын дәлелдеуде маңызды рөл атқарады.