Лемма Шура о гомоморфизмах простых модулей

Введение

Гомоморфизмы между простыми модулями над одним и тем же кольцом являются изоморфизмами или нулевыми.

В математике лемма Шура — это элементарное, но чрезвычайно полезное утверждение в теории представлений групп и алгебр. В случае групп она утверждает, что если M и N — два конечномерных неприводимых представления группы G, а φ — линейное отображение из M в N, коммутирующее с действием группы, то либо φ обратимо, либо φ = 0. Важный частный случай возникает, когда M = N, то есть φ является самоотображением; в частности, любой элемент центра группы должен действовать на M как скалярный оператор (скаляр, умноженный на единичный оператор). Лемма названа в честь Иссая Шура, который использовал её для доказательства соотношений ортогональности Шура и разработки основ теории представлений конечных групп. Лемма Шура допускает обобщения на группы и алгебры Ли, наиболее известные из которых принадлежат Жаку Диксмье и Дэниелу Квиллену.

Теория представления групп

Теория представлений – это изучение гомоморфизмов из группы G в общую линейную группу GL(V) векторного пространства V, то есть в группу автоморфизмов V. (Ограничимся здесь случаем, когда базовым полем V является поле комплексных чисел.) Такой гомоморфизм называется представлением G на V. Представление на V является частным случаем группового действия на V, но вместо того, чтобы допускать любые произвольные биекции (перестановки) базового множества V, мы ограничиваемся обратимыми линейными преобразованиями. Пусть ρ – представление G на V. Возможно, что у V есть подпространство W, такое что для каждого элемента g из G, обратимое линейное отображение ρ(g) сохраняет или фиксирует W, то есть (ρ(g))(w) принадлежит W для каждого w из W, а (ρ(g))(v) не принадлежит W для любого v, не принадлежащего W. Иными словами, каждое линейное отображение ρ(g): V→V также является автоморфизмом W, ρ(g): W→W, когда его область определения ограничена W. Мы говорим, что W стабильно относительно G, или стабильно относительно действия G. Очевидно, что если мы рассматриваем W само по себе как векторное пространство, то существует очевидное представление G на W – представление, которое мы получаем, ограничивая каждое отображение ρ(g) областью W. Когда W обладает этим свойством, мы называем W вместе с данным представлением подпредставлением V. Каждое представление G имеет само себя и нулевое векторное пространство в качестве тривиальных подпредставлений. Представление G, не имеющее нетривиальных подпредставлений, называется неприводимым представлением. Неприводимые представления – как простые числа или как простые группы в теории групп – являются строительными блоками теории представлений. Многие из первоначальных вопросов и теорем теории представлений связаны со свойствами неприводимых представлений. Так же, как нас интересуют гомоморфизмы между группами и непрерывные отображения между топологическими пространствами, нас также интересуют определенные функции между представлениями G. Пусть V и W – векторные пространства, и пусть ρ и σ – представления G на V и W соответственно. Тогда мы определяем G-линейное отображение f из V в W как линейное отображение из V в W, которое является эквивариантным относительно действия G, то есть для каждого g из G выполняется равенство . Иными словами, мы требуем, чтобы f коммутировало с действием G. G-линейные отображения являются морфизмами в категории представлений G.

Representation theory is the study of homomorphisms from a group, G, into the general linear group GL(V) of a vector space V; i. e., into the group of automorphisms of V. (Let us here restrict ourselves to the case when the underlying field of V is , the field of complex numbers.) Such a homomorphism is called a representation of G on V. A representation on V is a special case of a group action on V, but rather than permit any arbitrary bijections (permutations) of the underlying set of V, we restrict ourselves to invertible linear transformations. Let ρ be a representation of G on V. It may be the case that V has a subspace, W, such that for every element g of G, the invertible linear map ρ(g) preserves or fixes W, so that (ρ(g))(w) is in W for every w in W, and (ρ(g))(v) is not in W for any v not in W. In other words, every linear map ρ(g): V→V is also an automorphism of W, ρ(g): W→W, when its domain is restricted to W. We say W is stable under G, or stable under the action of G. It is clear that if we consider W on its own as a vector space, then there is an obvious representation of G on W—the representation we get by restricting each map ρ(g) to W. When W has this property, we call W with the given representation a subrepresentation of V. Every representation of G has itself and the zero vector space as trivial subrepresentations. A representation of G with no non trivial subrepresentations is called an irreducible representation. Irreducible representations – like the prime numbers, or like the simple groups in group theory – are the building blocks of representation theory. Many of the initial questions and theorems of representation theory deal with the properties of irreducible representations. Just as we are interested in homomorphisms between groups, and in continuous maps between topological spaces, we are also interested in certain functions between representations of G. Let V and W be vector spaces, and let and be representations of G on V and W respectively. Then we define a G linear map f from V to W to be a linear map from V to W that is equivariant under the action of G; that is, for every g in G, In other words, we require that f commutes with the action of G. G linear maps are the morphisms in the category of representations of G.

Лемма Шура – это теорема, описывающая, какие G-линейные отображения могут существовать между двумя неприводимыми представлениями G.

Заявление и доказательство лемы

Теорема (Лемма Шура): Пусть V и W — векторные пространства, и пусть ρ и σ — неприводимые представления G на V и W соответственно. Если ρ и σ не изоморфны, то между ними нет нетривиальных G-линейных отображений. Если V конечномерно над алгебраически замкнутым полем (например, ℂ), и если dim(V) = dim(W), то единственными нетривиальными G-линейными отображениями являются тождественное отображение и скалярные кратные тождественного отображения. (Скалярное кратное тождественного отображения иногда называют гомотетией.) Доказательство: Предположим, что φ — ненулевое G-линейное отображение из V в W. Мы докажем, что ρ и σ изоморфны. Пусть ker(φ) — ядро, или нулевое пространство, отображения φ, то есть подпространство всех v ∈ V, для которых φ(v) = 0 (легко проверить, что это подпространство). По предположению, что φ G-линейно, для каждого g ∈ G и v ∈ V имеем φ(g⋅v) = g⋅φ(v). Но говорить, что φ(g⋅v) = g⋅φ(v) — это то же самое, что говорить, что g⋅v ∈ ker(φ). Следовательно, ker(φ) инвариантно относительно действия G, то есть является подпредставлением. Поскольку по предположению σ неприводимо, ker(φ) должно быть нулевым; таким образом, φ инъективно. Аналогичным образом мы покажем, что φ также сюръективно; поскольку dim(V) = dim(W), мы можем заключить, что для произвольного w из образа φ, φ(v) = w для некоторого v ∈ V. Тогда g⋅v также находится в образе φ, и φ(g⋅v) = g⋅φ(v) = g⋅w. Таким образом, образ φ является подпространством W, инвариантным относительно действия G, то есть является подпредставлением, и должно быть нулевым или совпадать со всем W. По предположению, образ φ не является нулевым, поэтому он совпадает со всем W, и φ является изоморфизмом. В случае, когда V конечномерно над алгебраически замкнутым полем и ρ и σ имеют одинаковую размерность, пусть λ — собственное значение отображения ρ (собственное значение существует для каждого линейного преобразования на конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем). Пусть v — собственный вектор, соответствующий λ, то есть ρ(g)⋅v = λ⋅v для всех g ∈ G. Очевидно, что φ(v) является G-линейным отображением, поскольку сумма или разность G-линейных отображений также G-линейна. Тогда мы возвращаемся к вышеприведенному аргументу, где мы использовали тот факт, что отображение φ было G-линейным, чтобы заключить, что ker(φ) является подпредставлением, и, следовательно, либо нулевым, либо равным всему V; поскольку оно не является нулевым (оно содержит v), оно должно быть равно всему V, и φ тривиально, то есть φ(v) = 0.

Theorem (Schur's Lemma): Let V and W be vector spaces; and let and be irreducible representations of G on V and W respectively. If and are not isomorphic, then there are no nontrivial G linear maps between them. If finite dimensional over an algebraically closed field (e. g. ); and if , then the only nontrivial G linear maps are the identity, and scalar multiples of the identity. (A scalar multiple of the identity is sometimes called a homothety.) Proof: Suppose is a nonzero G linear map from to We will prove that and are isomorphic. Let be the kernel, or null space, of in , the subspace of all in for which (It is easy to check that this is a subspace.) By the assumption that is G linear, for every in and choice of in , But saying that is the same as saying that is in the null space of So is stable under the action of G; it is a subrepresentation. Since by assumption is irreducible, must be zero; so is injective. By an identical argument we will show is also surjective; since , we can conclude that for arbitrary choice of in the image of , sends somewhere else in the image of ; in particular it sends it to the image of So the image of is a subspace of stable under the action of , so it is a subrepresentation and must be zero or surjective. By assumption it is not zero, so it is surjective, in which case it is an isomorphism. In the event that finite dimensional over an algebraically closed field and they have the same representation, let be an eigenvalue of (An eigenvalue exists for every linear transformation on a finite dimensional vector space over an algebraically closed field.) Let Then if is an eigenvector of corresponding to It is clear that is a G linear map, because the sum or difference of G linear maps is also G linear. Then we return to the above argument, where we used the fact that a map was G linear to conclude that the kernel is a subrepresentation, and is thus either zero or equal to all of ; because it is not zero (it contains ) it must be all of V and so is trivial, so .

Применение к центральным символам

Определение: Пусть – алгебра. Модуль называется модулем с центральным характером (где – центр ), если для каждого существует такое, что , то есть каждый элемент является обобщенным собственным вектором с собственным значением . Если , например, в рассмотренном выше случае, каждый элемент действует на как эндоморфизм и, следовательно, как скаляр. Таким образом, существует гомоморфизм колец такой, что для всех . В частности, имеет центральный характер. Если – универсальная огибающая алгебра алгебры Ли, то центральный характер также называют инфинитезимальным характером, и из предыдущих соображений следует, что если является конечномерной (так что счетно-размерной), то каждый простой -модуль имеет инфинитезимальный характер. В случае, когда – групповая алгебра конечной группы , следует тот же вывод. Здесь центр состоит из элементов вида , где – класс-функция, то есть инвариантная относительно сопряжения. Поскольку множество класс-функций порождено характерами неприводимых представлений , центральный характер определяется тем, в какое значение она отображает (для всех ). Поскольку все – идемпотенты, они отображаются либо в 0, либо в 1, и поскольку для двух различных неприводимых представлений, только одно из них может быть отображено в 1: то, которое соответствует модулю .

Представления групп и алгебр Ли

Теперь мы опишем лемму Шура в той формулировке, которая обычно используется в контексте представлений групп Ли и алгебр Ли. Результат состоит из трех частей. Во-первых, пусть и — неприводимые представления группы Ли или алгебры Ли над любым полем, и — переплетающее отображение. Тогда либо равно нулю, либо является изоморфизмом. Во-вторых, если — неприводимое представление группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем, и — переплетающее отображение, то является скалярным кратным тождественного отображения. В-третьих, пусть и — неприводимые представления группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем, и — ненулевые переплетающие отображения. Тогда для некоторого скаляра. Простым следствием второго утверждения является то, что каждое комплексное неприводимое представление абелевой группы является одномерным.

Применение к элементу Казимира

Предположим, что $\mathfrak{g}$ — алгебра Ли, а $U(\mathfrak{g})$ — универсальная обволакивающая алгебра. Пусть $V$ — неприводимое представление алгебры $U(\mathfrak{g})$ над алгебраически замкнутым полем. Универсальное свойство универсальной обволакивающей алгебры гарантирует, что $V$ расширяется до представления алгебры $\mathfrak{g}$, действующей на том же векторном пространстве. Из второй части леммы Шура следует, что если элемент $c$ принадлежит центру $U(\mathfrak{g})$, то $c$ должен быть кратен оператору тождества. В случае, когда $\mathfrak{g}$ — комплексная полупростая алгебра Ли, важным примером вышеуказанной конструкции является случай, когда $c$ — (квадратичный) элемент Казимира. В этом случае, $c = \lambda I$, где $\lambda$ — константа, которую можно явно вычислить в терминах старшего веса представления. Действие элемента Казимира играет важную роль в доказательстве полной приводимости для конечномерных представлений полупростых алгебр Ли.