Қуат бірлігіне шамалы күйлер саны

Кіріспе

Энергия бірлігіне шамалас физикалық күйлердің саны. Конденсацияланған заттар физикасында, күйлердің тығыздығы (DOS) жүйедегі энергия бірлігіне рұқсат етілген режимдердің немесе күйлердің санын сипаттайды. Күйлердің тығыздығы ретінде анықталады, мұнда – көлемі бар жүйедегі энергиясы -тен -ге дейінгі аралықта жатқан күйлердің саны. Бұл математикалық тұрғыдан ықтималдық тығыздық функциясы арқылы таралым ретінде көрсетіледі және әдетте жүйенің әртүрлі күйлерінің кеңістік және уақыт салалары бойынша орташа мәні болып табылады. Күйлердің тығыздығы жүйенің қасиеттерінің дисперсиялық байланыстарымен тікелей байланысты. Белгілі бір энергия деңгейіндегі жоғары DOS көптеген күйлердің иеленуіне мүмкіндік береді. Әдетте, материяның күйлер тығыздығы үздіксіз болады. Дегенмен, оқшауланған жүйелерде, мысалы, газ фазасындағы атомдар немесе молекулаларда, тығыздық таралуы дискретті, спектрлік тығыздық сияқты болады. Бастапқы жүйенің бұзылуына байланысты болатын жергілікті өзгерістер көбінесе жергілікті күйлер тығыздығы (LDOS) деп аталады.

Кіріспе

Кванттық механикалық жүйелерде толқындар немесе толқынға ұқсас бөлшектер жүйемен анықталатын толқын ұзындығы мен таралу бағытына ие режимдерді немесе күйлерді қабылдай алады. Мысалы, кейбір жүйелерде материалдың атомдық аралығы мен атомдық заряды тек белгілі бір толқын ұзындығындағы электрондардың ғана болуына мүмкіндік береді. Басқа жүйелерде материалдың кристалдық құрылымы толқындардың бір бағытта таралуына рұқсат етеді, ал басқа бағыттағы таралуын тоқтатады. Көбінесе тек нақты күйлерге ғана жол беріледі. Осылайша, белгілі бір энергия деңгейінде көптеген күйлер қолжетімді болуы мүмкін, ал басқа энергия деңгейлерінде күйлер мүлдем болмауы мүмкін. Сонымен қатар, күйлердің тығыздығы энергия аралығында үздіксіз болады, яғни материалдың жолақтық аралығында электрондардың орналасуы үшін күйлер жоқ. Бұл жағдай сонымен қатар өткізгіштік жолақтың шетіндегі электронның валенттік жолақтағы басқа күйге өтуі үшін материалдың жолақтық аралық энергиясын жоғалтуы керек екенін білдіреді. Бұл материалдың таралу өлшемдерінде изолятор немесе металл екенін анықтайды. Жолақтағы күйлер санының нәтижесі өткізгіштік қасиеттерін болжау үшін де пайдалы. Мысалы, бір өлшемді кристалдық құрылымда атомға шаққандағы электрондардың тақ саны жоғарғы жартылай толтырылған жолақты құрайды; Ферми деңгейінде бос электрондар болады, нәтижесінде металл пайда болады. Керісінше, электрондардың жұп саны толыққандай бүтін жолақты толтырады, ал қалғаны бос қалады. Егер Ферми деңгейі ең жоғары толтырылған және ең төменгі бос күйлер арасындағы бос жолақта орналасса, материал оқшаулағыш немесе жартылай өткізгіш болады. Кванттық механикалық жүйеге байланысты күйлердің тығыздығы электрондар, фотондар немесе фонондар үшін есептелуі мүмкін және энергияның немесе толқын векторы k-ның функциясы ретінде берілуі мүмкін. Энергия функциясы ретіндегі күйлер тығыздығын және толқын векторы функциясы ретіндегі күйлер тығыздығын түрлендіру үшін E мен k арасындағы жүйеге тән энергия дисперсиялық қатынасын білу қажет. Жалпы, жолақтық құрылым сияқты жүйелердің топологиялық қасиеттері күйлердің тығыздығының қасиеттеріне маңызды әсер етеді. Нейтрон жұлдыздарындағы нейтрондық материя және металдардағы бос электрондық газдар (дегенерацияланған материя мен Ферми газының мысалдары) сияқты ең жақсы зерттелген жүйелер 3 өлшемді Эвклидтік топологияға ие. Графит қабаттарындағы екі өлшемді электрондық газдар (2DEG) және MOSFET типті құрылғылардағы кванттық Холл эффектісі жүйесі сияқты аз танымал жүйелерде 2 өлшемді Эвклидтік топология бар. Көміртек нанотүтікшелері, кванттық сымдар және Латтингер сұйықтығы сияқты 1 өлшемді топологиясы бар жүйелер одан да аз танымал. Нанотехнология және материалтану саласындағы дамуларға байланысты 1D және 2D топологиялары бар жүйелер жиірек кездесуі мүмкін.

In quantum mechanical systems, waves, or wave like particles, can occupy modes or states with wavelengths and propagation directions dictated by the system. For example, in some systems, the interatomic spacing and the atomic charge of a material might allow only electrons of certain wavelengths to exist. In other systems, the crystalline structure of a material might allow waves to propagate in one direction, while suppressing wave propagation in another direction. Often, only specific states are permitted. Thus, it can happen that many states are available for occupation at a specific energy level, while no states are available at other energy levels. Looking at the density of states of electrons at the band edge between the valence and conduction bands in a semiconductor, for an electron in the conduction band, an increase of the electron energy makes more states available for occupation. Alternatively, the density of states is discontinuous for an interval of energy, which means that no states are available for electrons to occupy within the band gap of the material. This condition also means that an electron at the conduction band edge must lose at least the band gap energy of the material in order to transition to another state in the valence band. This determines if the material is an insulator or a metal in the dimension of the propagation. The result of the number of states in a band is also useful for predicting the conduction properties. For example, in a one dimensional crystalline structure an odd number of electrons per atom results in a half filled top band; there are free electrons at the Fermi level resulting in a metal. On the other hand, an even number of electrons exactly fills a whole number of bands, leaving the rest empty. If then the Fermi level lies in an occupied band gap between the highest occupied state and the lowest empty state, the material will be an insulator or semiconductor. Depending on the quantum mechanical system, the density of states can be calculated for electrons, photons, or phonons, and can be given as a function of either energy or the wave vector k. To convert between the DOS as a function of the energy and the DOS as a function of the wave vector, the system specific energy dispersion relation between E and k must be known. In general, the topological properties of the system such as the band structure, have a major impact on the properties of the density of states. The most well known systems, like neutron matter in neutron stars and free electron gases in metals (examples of degenerate matter and a Fermi gas), have a 3 dimensional Euclidean topology. Less familiar systems, like two dimensional electron gases (2DEG) in graphite layers and the quantum Hall effect system in MOSFET type devices, have a 2 dimensional Euclidean topology. Even less familiar are carbon nanotubes, the quantum wire and Luttinger liquid with their 1 dimensional topologies. Systems with 1D and 2D topologies are likely to become more common, assuming developments in nanotechnology and materials science proceed.

Симметрия

DOS есептеулерін жасауға болатын көптеген жүйелер мен күйлер түрлері бар. Кейбір конденсацияланған зат жүйелері микроскопиялық масштабта құрылымдық симметрияға ие, оны олардың күйлерінің тығыздықтарын есептеуді жеңілдету үшін пайдалануға болады. Сфералық симметриялы жүйелерде функциялардың интегралдары бір өлшемді болады, өйткені есептеудегі барлық айнымалылар дисперсиялық қатынастың радиалдық параметріне ғана байланысты. Сұйықтықтар, шынылар және аморфты қатты денелер – дисперсиялық қатынастары айналу симметриясына ие симметриялық жүйелердің мысалдары. Ұнтақтар немесе поликристалл үлгілердегі өлшеулер бағалауды және есептеу функцияларын, сондай-ақ қызығушылық тудыратын жүйенің дисперсиялық қатынастарының бүкіл доменіндегі интегралдарды, көбінесе Бриллуин аймағын қажет етеді. Кейде жүйенің симметриясы жоғары болады, бұл жүйенің дисперсиялық қатынастарын сипаттайтын функциялардың пішіні дисперсиялық қатынастың бүкіл доменінде көп рет қайталанады. Мұндай жағдайларда DOS есептеуге жұмсалатын күш-жігерді есептеу қысқартылған аймақ немесе негізгі доменмен шектелетін кезде айтарлықтай азайтуға болады. Оң жақтағы суреттегі бет-орталық кубтық тордың (FCC) Бриллюин аймағы тоқ топтың 48 еселенген симметриясына ие, О – толық октаэдрлік симметриямен. Бұл конфигурация Бриллюин аймағының бүкіл аумағы бойынша интеграцияны Бриллюин аймағының 48-ден бір бөлігіне дейін азайтуға мүмкіндік береді. Кристалдық құрылымның периодтық кестесі көрсеткендей, FCC кристалдық құрылымы бар көптеген элементтер бар, мысалы, алмаз, кремний және платина, ал олардың Бриллюин аймақтары мен дисперсиялық қатынастары 48 еселенген симметрияға ие. Тағы екі танымал кристалл құрылымдары – денеге орталықтандырылған кубтық тор (BCC) және тиісінше кубтық және алты бұрышты торлармен алты бұрышты жабық қапталған құрылымдар (HCP). BCC құрылымы Th нүктелік тобының 24 есе пиритоэдрлік симметриясына ие. HCP құрылымы D3h нүктелік тобының 12 еселенген призмалық диэдрлі симметриясына ие. Нүктелік топтың симметрия қасиеттерінің толық тізімін нүктелік топтың таңба кестелерінде табуға болады. Жалпы алғанда, DOS-ты есептеу жүйе симметриясы жоғары және дисперсиялық қатынастың топологиялық өлшемдерінің саны төмен болған кезде оңай болады. Дисперсиялық қатынастардың DOS-ын айналу симметриясымен жиі талдау арқылы есептеуге болады. Бұл нәтиже сәтті, өйткені көптеген практикалық материалдар, мысалы, болат пен кремний жоғары симметрияға ие. Бір кристалл қосылысы сияқты анизотроптық конденсацияланған зат жүйелерінде күйлердің тығыздығы бір кристаллографиялық бағытта екіншісінен өзгеше болуы мүмкін. Бұл анизотроптық тығыздықты визуализациялауды қиындатады және тек белгілі бір нүктелер немесе бағыттар үшін DOS есептеу немесе белгілі бір кристалл бағытына арналған күйлердің болжамды тығыздығын (PDOS) есептеу сияқты әдістерді қажет етуі мүмкін.

There is a large variety of systems and types of states for which DOS calculations can be done. Some condensed matter systems possess a structural symmetry on the microscopic scale which can be exploited to simplify calculation of their densities of states. In spherically symmetric systems, the integrals of functions are one dimensional because all variables in the calculation depend only on the radial parameter of the dispersion relation. Fluids, glasses and amorphous solids are examples of a symmetric system whose dispersion relations have a rotational symmetry. Measurements on powders or polycrystalline samples require evaluation and calculation functions and integrals over the whole domain, most often a Brillouin zone, of the dispersion relations of the system of interest. Sometimes the symmetry of the system is high, which causes the shape of the functions describing the dispersion relations of the system to appear many times over the whole domain of the dispersion relation. In such cases the effort to calculate the DOS can be reduced by a great amount when the calculation is limited to a reduced zone or fundamental domain. The Brillouin zone of the face centered cubic lattice (FCC) in the figure on the right has the 48 fold symmetry of the point group Oh with full octahedral symmetry. This configuration means that the integration over the whole domain of the Brillouin zone can be reduced to a 48 th part of the whole Brillouin zone. As a crystal structure periodic table shows, there are many elements with a FCC crystal structure, like diamond, silicon and platinum and their Brillouin zones and dispersion relations have this 48 fold symmetry. Two other familiar crystal structures are the body centered cubic lattice (BCC) and hexagonal closed packed structures (HCP) with cubic and hexagonal lattices, respectively. The BCC structure has the 24 fold pyritohedral symmetry of the point group Th. The HCP structure has the 12 fold prismatic dihedral symmetry of the point group D3h. A complete list of symmetry properties of a point group can be found in point group character tables. In general it is easier to calculate a DOS when the symmetry of the system is higher and the number of topological dimensions of the dispersion relation is lower. The DOS of dispersion relations with rotational symmetry can often be calculated analytically. This result is fortunate, since many materials of practical interest, such as steel and silicon, have high symmetry. In anisotropic condensed matter systems such as a single crystal of a compound, the density of states could be different in one crystallographic direction than in another. These causes the anisotropic density of states to be more difficult to visualize, and might require methods such as calculating the DOS for particular points or directions only, or calculating the projected density of states (PDOS) to a particular crystal orientation.

k-кеңістік топологиялар

Мемлекеттердің тығыздығы нысананың өлшемдік шектеріне тәуелді. Үш өзара перпендикуляр параметрмен сипатталатын жүйеде (3 өлшем), DOS бірліктері [Энергия]−1[Көлем]−1, екі өлшемді жүйеде DOS бірліктері [Энергия]−1[Аудан]−1, ал бір өлшемді жүйеде DOS бірліктері [Энергия]−1[Ұзындық]−1 болып табылады. Аталған көлем – k кеңістігінің көлемі; жүйенің энергияға байланысты дисперсиялық қатынасы арқылы алынған тұрақты энергиялық бетімен шектелген кеңістік. 1-суретте 3 өлшемді k кеңістігінің мысалы келтірілген. Жүйенің өлшемділігі жүйе ішіндегі бөлшектердің импульсын шектейтінін көруге болады.

Энергиялық күйлердің тығыздығы

DOS есептеуін аяқтау үшін, бірлік үлгі көлеміндегі энергия аралығындағы күйлер санын табу қажет. Жүйенің DOS-ының жалпы формуласы берілген. Бұған дейін сипатталған схема тек монотонды өсетін және сфералық симметриялы дисперсиялық байланыстарға ғана қолданылады. Жалпы алғанда, дисперсиялық байланыс сфералық симметриялы емес, және көп жағдайларда ол үздіріссіз өспейді. D-ді E функциясы ретінде беру үшін, дисперсиялық байланыстың кері функциясын k функциясы ретіндегі DOS формуласына қою арқылы энергия функциясы ретіндегі DOS-ты алу керек. Егер дисперсиялық байланыс сфералық симметриялы болмаса немесе үздіріссіз өспесе, және оны оңай инверсиялау мүмкін болмаса, көп жағдайларда DOS сандық әдіспен есептелуі тиіс. Толығырақ түсіндірмелер қолжетімді.

Тарату функциялары

Қалыптардың тығыздығы қатты денелердің кинетикалық теориясында маңызды рөл атқарады. Қалыптардың тығыздығының және ықтималдық үлестіру функциясының көбейтіндісі, жылулық тепе-теңдіктегі жүйе үшін берілген энергиядағы бірлік көлемге шаққандағы толған қалыптардың саны болып табылады. Бұл мән материяның әртүрлі физикалық қасиеттерін зерттеу үшін кеңінен қолданылады. Төменде екі жалпы үлестіру функциясын пайдалана отырып, қалыптардың тығыздығына үлестіру функциясын қолдану арқылы физикалық қасиеттердің қалай туындайтынының мысалдары келтірілген. Ферми-Дирак статистикасы: Ферми-Дирак ықтималдық үлестіру функциясы, 4-суретте көрсетілгендей, термиялық тепе-теңдіктегі жүйеде фермионның белгілі бір кванттық күйді иелену ықтималдығын анықтау үшін қолданылады. Фермиондар – Паулидің тыйым салу принципіне бағынатын бөлшектер (мысалы, электрондар, протондар, нейтрондар). Үлестіру функциясын былай жазуға болады:

мұндағы – химиялық потенциал (EF деп те белгіленеді және T=0 кезінде Ферми деңгейі деп аталады), – Больцман тұрақтысы, ал – температура. 4-суретте Ферми-Дирак үлестіру функциясының және жартылай өткізгіштің үш өлшемді қалыптар тығыздығының көбейтіндісінің, тасымалдаушылар концентрациясы және энергиялық аймақтар сияқты физикалық қасиеттер туралы түсінік беретіні көрсетілген. Бозе-Эйнштейн статистикасы: Бозе-Эйнштейн ықтималдық үлестіру функциясы термиялық тепе-теңдіктегі жүйеде бозонның белгілі бір кванттық күйді иелену ықтималдығын анықтау үшін қолданылады. Бозондар – Паулидің тыйым салу принципіне бағынбайтын бөлшектер (мысалы, фонондар және фотондар). Үлестіру функциясын былай жазуға болады:

Осы екі үлестіруден көлем бірлігіне шаққандағы ішкі энергияны, бөлшектер санын, нақты жылу сыйымдылығын және жылу өткізгіштігін есептеуге болады. Бұл қасиеттер мен қалыптардың тығыздығының көбейтіндісі арасындағы қатынастар, ал қалыптардың тығыздығын символымен белгілесек, былай беріледі:

мұндағы – өлшемділік, – дыбыс жылдамдығы, ал – орташа еркін жүріс жолы.

Қолданбалар

Мемлекеттер тығыздығы физиканың көптеген салаларында кездеседі және сан түрлі кванттық механикалық құбылыстарды түсіндіруге көмектеседі.

Кванттық есептеу

Шағын құрылымдардың күй тығыздығын есептеу, өлшемділік төмендеген сайын электрондар таралуының өзгеретінін көрсетеді. Кванттық сымдар үшін, белгілі бір энергиялардағы күй тығыздығы көлемдік жартылай өткізгіштердегіден артық болуы мүмкін, ал кванттық нүктелерде электрондар белгілі бір энергияларға квантталады.

Фотоникалық кристалдар

Жарық толқынының ұзындығына шамалас ұзындық өлшемдері бар периодтық құрылымдарды қолдану арқылы фотондардың күй тығыздығын өзгертуге болады. Кейбір құрылымдар белгілі бір түстердің (энергиялардың) жарық таралғанын толығымен тоқтатып, фотондық жолақтың қалыптасуына әкеледі: бұл энергиядағы күй тығыздығы нөлге тең болады. Басқа құрылымдар жарықтың таралуын тек белгілі бір бағыттарда ғана тоқтатып, айналар, толқын жетектері және резонаторлар құруға мүмкіндік береді. Мұндай периодтық құрылымдар фотондық кристалдар деп аталады. Нанокұрылымды ортада күй тығыздығынан (DOS) гөрі жергілікті күй тығыздығы (LDOS) тұжырымы көбірек маңызға ие, себебі күй тығыздығы бір нүктеден екінші нүктеге айтарлықтай өзгереді.

Есептеулік есептеу

Қызықты жүйелер әдетте күрделі болады, мысалы, қосылыстар, биомолекулалар, полимерлер және т.б. Бұл жүйелердің күрделілігіне байланысты, көп жағдайларда күйлердің тығыздығын талдау арқылы есептеу мүмкін емес. Компьютерлік модельдеулер күйлердің тығыздығын жоғары дәлдікпен бағалауға арналған алгоритмдер жиынтығын ұсынады. Осы алгоритмдердің бірі Ван мен Ландау алгоритмі деп аталады. Ван мен Ландау схемасында күйлердің тығыздығы туралы алдын ала білім қажет емес. Процесс келесідей жүзеге асырылады: жүйенің құн функциясы (мысалы, энергия) дискреттеледі. Әрбір i интервалына жеткен кезде, күйлердің тығыздығы үшін гистограмма f модификациялық коэффициенті деп аталатын арқылы жаңартылады. Гистограммадағы әрбір интервал белгілі бір рет (10-15) қаралғаннан кейін, модификациялық коэффициент қандай да бір критерий бойынша төмендетіледі, мысалы, n – n-ші жаңарту қадамын білдіреді. Модификациялық коэффициент белгілі бір шектен төмен болған кезде модельдеу аяқталады, мысалы. Ван мен Ландау алгоритмі, мультиканоникалық модельдеу және параллельдік темперлеу сияқты басқа кең таралған алгоритмдерге қарағанда бірнеше артықшылықтарға ие. Мысалы, күйлердің тығыздығы модельдеудің негізгі нәтижесі ретінде алынады. Сонымен қатар, Ван мен Ландау модельдеулері температураға толығымен тәуелсіз. Бұл мүмкіндік, протеиндер сияқты өте күрделі энергиялық ландшафты бар жүйелердің күйлер тығыздығын есептеуге мүмкіндік береді. Математикалық тұрғыдан алғанда, күйлердің тығыздығы жабатын карталар мұнарасы түрінде формулировкаланады.

Мемлекеттердің жергілікті тығыздығы

DOS анықтамасының маңызды ерекшелігі – оны кез келген жүйеге қолдануға болады. Оның қасиеттерінің бірі – трансляциялық инварианттылық, яғни күйлердің тығыздығы біртекті және жүйенің кез келген нүктесінде бірдей болады. Бірақ бұл тек ерекше жағдай ғана, ал LDOS жүйе бойынша күйлердің әртүрлі тығыздығын қамтитын толықрақ сипаттама береді.

Тұжырымдама

Мемлекеттердің жергілікті тығыздығы (LDOS) кеңістікте шешілген күйлер тығыздығын сипаттайды. Материалдар ғылымында, мысалы, бұл термин сканерлік туннельдік микроскоптың (СТМ) деректерін түсіндіру үшін пайдалы, себебі бұл әдіс атомдық деңгейде электрондық күйлер тығыздығын бейнелеуге мүмкіндік береді. Кристалдық құрылымға сәйкес, бұл шаманы есептеу әдістерімен, мысалы тығыздық функционалдық теориясы арқылы болжауға болады.

Қатты күйдегі құрылғылар

LDOS қатты күйдегі құрылғыдан пайда табу үшін қолданылуы мүмкін. Мысалы, оң жақтағы сурет баллистикалық симуляцияда транзистордың қосылып-өшірілу кезіндегі LDOS-ін көрсетеді. LDOS көзі мен ағынында жолақ шегінің орналасқан жеріне сәйкес келетін анық шекараға ие. Каналда есік кернеуінің артуымен және потенциалдық тосқауылдың төмендеуімен бірге DOS артады.

Оптика және фотоника

Оптика мен фотоникада, жергілікті күй тығыздығы дегені – фотонның ие бола алатын күйлерді білдіреді. Жарық үшін бұл әдетте флуоресценция әдістерімен, жақын өріс сканилеу әдістерімен немесе катодоллюминесценция техникаларымен өлшенеді. Әртүрлі фотоникалық құрылымдар әртүрлі LDOS мінез-құлқына ие, бұл спонтанды сәулеленудің әртүрлі салдарына әкеледі. Фотоникалық кристалдарда LDOS нөлге жуық болуы күтіледі, бұл спонтанды сәулеленуді тежейді. Плазмондық резонаторда да осындай LDOS күшеюі күтіледі. Дегенмен, ретсіз фотоникалық наноқұрылымдарда LDOS әртүрліше танылады. Олар статистикалық қасиеттерімен бірге кеңістікте өзгереді және құрылымдардың шашырату қабілетіне пропорционал. Сонымен қатар, шашыратудың орташа еркін жолымен байланыс тривиальды, себебі LDOS күшті бұзылыстардың ұсақ егжей-тегжейлері арқылы әлі де күшті әсерге ұшырауы мүмкін, нәтижесінде сәулеленудің күшті Пурселл күшеюі байқалады. Соңында, плазмондық ретсіздік үшін бұл әсер LDOS ауытқулары үшін әлдеқайда күшті, оны жақын өрістегі күшті локализация ретінде байқауға болады.