Кіріспе

Алгебрада эквиваленттік қатынас

элементар геометрияда қолданылатын термин

Абстрактілік алгебрада конгруэнттік қатынас (немесе жай ғана конгруэнттік) — алгебралық құрылымдағы (мысалы, топ, сақина немесе векторлық кеңістік) эквиваленттік қатынас, ол эквивалентті элементтермен орындалған алгебралық амалдар эквивалентті элементтерді тудырады, яғни құрылыммен сәйкес келеді. Кез келген конгруэнттік қатынасқа сәйкес тиісті бөліктелген құрылым (коэффициенттік құрылым) бар, оның элементтері — қатынастың эквиваленттік кластары (немесе конгруэнттік кластары).

Анықтама

Конгруенттілік анықтамасы қарастырылып отырған алгебралық құрылым түріне байланысты. Конгруенттіліктің нақты анықтамалары топтар, сақиналар, векторлық кеңістіктер, модульдер, жартылай топтар, торлар және тағы да басқалары үшін жасалуы мүмкін. Ортақ принцип – конгруенттілік, алгебралық құрылыммен сәйкес келетін алгебралық объектідегі эквиваленттік қатынас, яғни амалдар эквиваленттік сыныптар бойынша дұрыс анықталған.

Жалпы

Конгруенттік қатынастың жалпы түсінігін әмбебап алгебра аясында формальды түрде анықтауға болады, бұл сала барлық алгебралық құрылымдарға ортақ идеяларды зерттейді. Осы аяда, егер берілген алгебралық құрылымдағы кез келген операция үшін: егер және және , онда болатын болса, онда ондағы қатынас үйлесімді деп аталады. Ал алгебралық құрылымдағы конгруенттік қатынас – бұл сонымен қатар үйлесімді болатын эквиваленттік қатынас ретінде анықталады.

Сақиналардың идеалдары және жалпы жағдай

Осыған ұқсас тәсіл арқылы сақина теориясындағы ядроларды конгруэнттік қатынастардың орнына идеалдар ретінде, ал модуль теориясында конгруэнттік қатынастардың орнына субмодульдер ретінде қарастыруға болады. Бұл тәсілді қолдануға болатын жалпы жағдай – Омега топтары (жалпы мағынада, бірнеше аргументі бар операторларды қабылдайтын). Бірақ, мысалы, моноидтар үшін мұны істеу мүмкін емес, сондықтан конгруэнттік қатынастарды зерттеу моноид теориясында маңызды рөл атқарады.

Жалпыға ортақ алгебра

Конгруэнцияның жалпы түсінігі әсіресе әмбебап алгебрада пайдалы. Бұл контекстте баламалы формулировка мынадай:

Алгебра А-дағы конгруэнттік қатынас – А × А тікелей көбейтіндісінің ішкі жиыны, ол А-да эквиваленттік қатынас және А × А-ның ішкі алгебрасы болып табылады. Гомоморфизмнің ядросы әрқашан конгруэнция болады. Шындығында, кез келген конгруэнция ядро ретінде туындайды. А-дағы берілген конгруэнттік ~ үшін, эквиваленттік сыныптардың A / ~ жиынына алгебралық құрылым табиғи түрде, яғни үлестік алгебра ретінде беріледі. А-ның кез келген элементін оның эквиваленттік сыныбына бейнелейтін функция гомоморфизм болып табылады, ал осы гомоморфизмнің ядросы ~. Алгебра А-дағы барлық конгруэнттік қатынастардың Con(A) торлары алгебралық болып табылады. Джон М. Хоуи жартылай топтар теориясының әмбебап алгебрадағы конгруэнттік қатынастарды қалай көрсететінін сипаттады:
Топта конгруэнттік бір конгруэнттік сыныпты білсек, әсіресе сәйкестікті қамтитын сыныпты білетін қалыпты ішкі топты білсек, анықталады. Сол сияқты, сақинада конгруэнттік, егер біз идеалды білсек, онда нөлді қамтитын конгруэнттік сынып анықталады. Жартылай топтарда мұндай сәтті жағдай жоқ, сондықтан конгруэнттіктерді зерттеу қажеттігіне тап боламыз. Ең бастысы, осы қажеттілік жартылай топтар теориясына ерекше сипат береді. Шын мәнінде, жартылай топтар – әмбебап алгебраның әдістерін қолдануға болатын алгебраның бірінші және ең қарапайым түрі.