Введение

Отношение эквивалентности в алгебре

термин, используемый в элементарной геометрии

В абстрактной алгебре, отношение конгруэнтности (или просто конгруэнтность) — это отношение эквивалентности на алгебраической структуре (такой как группа, кольцо или векторное пространство), которое согласуется со структурой в том смысле, что алгебраические операции, выполняемые над эквивалентными элементами, дают эквивалентные элементы. Каждому отношению конгруэнтности соответствует факторструктура, элементами которой являются классы эквивалентности (или классы конгруэнтности) для данного отношения.

Определение

Определение конгруэнтности зависит от типа рассматриваемой алгебраической структуры. Для групп, колец, векторных пространств, модулей, полугрупп, решеток и так далее могут быть даны специальные определения конгруэнтности. Общая идея заключается в том, что конгруэнтность — это отношение эквивалентности на алгебраическом объекте, согласованное с алгебраической структурой, в том смысле, что операции определены корректно на классах эквивалентности.

Общий

Общее понятие конгруэнтного отношения может быть формально определено в контексте универсальной алгебры, области, изучающей идеи, общие для всех алгебраических структур. В этом контексте отношение на данной алгебраической структуре называется совместимым, если для каждой n-арной операции, определенной на структуре: всякий раз, когда x и y находятся в отношении, и x находится в отношении, и y находится в отношении, то f(x, y) также находится в отношении. Конгруэнтное отношение на структуре определяется как отношение эквивалентности, которое также является совместимым.

Идеалы колец и общий случай

Подобный прием позволяет рассматривать ядра в теории колец как идеалы, а не отношения конгруэнтности, и в теории модулей – как подмодули, а не отношения конгруэнтности. Более общая ситуация, в которой этот прием применим, – это омега-группы (в широком смысле, допускающие операторы с различной арностью). Однако, для моноидов это сделать нельзя, поэтому изучение отношений конгруэнтности играет более важную роль в теории моноидов.

Универсальная алгебра

Общее понятие конгруэнтности особенно полезно в универсальной алгебре. Эквивалентная формулировка в этом контексте следующая:

Конгруэнтное отношение на алгебре A является подмножеством прямого произведения A × A, которое одновременно является отношением эквивалентности на A и субалгеброй A × A. Ядро гомоморфизма всегда является конгруэнтностью. Действительно, любая конгруэнтность возникает как ядро. Для заданной конгруэнтности ~ на A, множество A / ~ классов эквивалентности может быть наделено структурой алгебры естественным образом, образуя фактор-алгебру. Функция, отображающая каждый элемент A в его класс эквивалентности, является гомоморфизмом, и ядро этого гомоморфизма равно ~. Решетка Con(A) всех конгруэнтных отношений на алгебре A является алгебраической. Джон М. Хоуи описал, как теория полугрупп иллюстрирует отношения конгруэнтности в универсальной алгебре: в группе конгруэнтность определяется, если известен один класс конгруэнтности, в частности, если известна нормальная подгруппа, являющаяся классом, содержащим единицу. Аналогично, в кольце конгруэнтность определяется, если известен идеал, являющийся классом конгруэнтности, содержащим ноль. В полугруппах такого благоприятного обстоятельства не возникает, и поэтому мы сталкиваемся с необходимостью изучения конгруэнтных отношений как таковых. Именно эта необходимость в большей степени придает теории полугрупп ее характерные особенности. Полугруппы, по сути, являются первым и самым простым типом алгебры, к которому необходимо применять методы универсальной алгебры.